Problema con Cauchy

$ \left\{\begin{aligned} u^{(2)} -4u'+4u &= 2e^t \\ u(0) &= -1 \\ u'(0) &= 0 \end{aligned} \right. $ 

L'equazione differenziale di questo problema di Cauchy è del tipo lineare non omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine. Determiniamone, dapprima la soluzione generale per poi, applicando le condizioni di Cauchy, i valori delle costanti c₁, c₂.

a. Soluzione generale omogenea associata.

• Omogenea associata. $ u$"$ -4u'+4 = 0$
• Polinomio caratteristico. $ λ^2-4λ+4 = (λ-2)^2 $
• Radici polinomio caratteristico. $ λ = 2 $ con molteplicità 2
• Soluzione generale dell'omogenea associata. $ y(x) = c_1e^{2x} + c_2 x e^{2x} $

b.  Soluzione particolare.

La cerchiamo tra le funzioni del tipo $Ae^t$        Metodo delle simiglianza

Se

$ y(x) = Ae^t$ allora

$ y'(x) = Ae^t$

$ y$"$(x) = Ae^t$

per cui

$ Ae^t -4Ae^t +Ae^t = 2e^t  \; ⇒ \; A = 2 $

Una soluzione particolare $ \bar{u}(t)  = 2e^t$ 

c. Soluzione generale equazione differenziale.

E' la somma delle due precedenti soluzioni

$ u(t) =  c_1e^{2t} + c_2 t e^{2t} + 2e^t$ 

dalla quale ricaviamo la sua derivata

$ u'(t) = e^t(2c_1e^t + c_2(2t+1)e^t +2) $

d. Problema di Cauchy  

Applichiamo le condizioni rispettivamente sulla soluzione e sulla sua derivata

$ u(0) = -1 \; ⇒ \; c_1 + 2 = -1 \; ⇒ \; c_1 = -3 $

$ u'(0) = 0  \; ⇒ \; 1*(2c_1 + c_2 +2) = 0 \; ⇒ \; -6 + c_2 +2 = 0 \; ⇒ \; c_2 = 4$

La soluzione del problema di Cauchy è

$ u(t) =  -3e^{2t} + 4 t e^{2t} + 2e^t$ = (4t-3)e^{2t} + 2e^t $

Troviamo la soluzione del problema di Cauchy

$ y(0) = 2 $

$ 2 tan(c) = 2$

$ tan(c) = 1 \; ⇒ \; c = \frac{\pi}{4} $

La soluzione del problema di Cauchy è

$  y(x) = 2 tan(x^2+ \frac{\pi}{4}) $