Problema 28 trigonometria

Abbiamo il triangolo rettangolo $ABC$ con l'angolo retto in $A$ in cui:

- ipotenusa $\overline{BC} = 16\,\text{cm}$
- angolo $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$

Utilizzando le relazioni fondamentali dei triangoli rettangoli, calcoliamo le lunghezze dei cateti:
$$
\begin{aligned}
\overline{AB} &= \overline{BC} \cdotp \cos(60^{\circ}) = 16 \cdotp \frac{1}{2} = 8\,\text{cm} \\
\overline{AC} &= \overline{BC} \cdotp \sin(60^{\circ}) = 16 \cdotp \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

L'altezza $AH$ divide l'ipotenusa $BC$ in due segmenti $BH$ e $CH$. Nel triangolo rettangolo $ABH$:
$$
\begin{aligned}
\overline{AH} &= \overline{AB} \cdotp \sin(60^{\circ}) = 8 \cdotp \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \\
\overline{BH} &= \overline{AB} \cdotp \cos(60^{\circ}) = 8 \cdotp \frac{1}{2} = 4\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
Di conseguenza, il segmento $CH$ è:
$$
\overline{CH} = \overline{BC} - \overline{BH} = 16 - 4 = 12\,\text{cm}
$$

Sia $Q$ un punto sull'altezza $AH$. Poniamo $\widehat{QBC} = x$. Nel triangolo rettangolo $QHB$ (retto in $H$):
$$
\overline{QH} = \overline{BH} \cdotp \tan(x) = 4\tan(x)
$$
Affinché $Q$ appartenga al segmento $AH$, deve valere $0 \le \overline{QH} \le \overline{AH}$, ovvero $0 \le 4\tan(x) \le 4\sqrt{3}$, il che implica $0 \le \tan(x) \le \sqrt{3}$ ($0^{\circ} \le x \le 60^{\circ}$).

Esprimiamo i quadrati delle distanze richiesti dalla relazione:
- Nel triangolo $QHB$: $\overline{QB}^2 = \overline{BH}^2 + \overline{QH}^2 = 4^2 + (4\tan(x))^2 = 16 + 16\tan^2(x)$
- Nel triangolo $QHC$: $\overline{CQ}^2 = \overline{CH}^2 + \overline{QH}^2 = 12^2 + (4\tan(x))^2 = 144 + 16\tan^2(x)$
- Il quadrato del cateto $AC$: $\overline{AC}^2 = (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdotp 3 = 192$

Sostituiamo le espressioni ottenute nella relazione $4\overline{QB}^2 + \frac{1}{6}\overline{AC}^2 = \overline{CQ}^2$:
$$
\begin{aligned}
4(16 + 16\tan^2(x)) + \frac{1}{6}(192) &= 144 + 16\tan^2(x) \\
64 + 64\tan^2(x) + 32 &= 144 + 16\tan^2(x) \\
64\tan^2(x) - 16\tan^2(x) &= 144 - 64 - 32 \\
48\tan^2(x) &= 48 \\
\tan^2(x) &= 1
\end{aligned}
$$
Poiché $x$ è un angolo acuto ($0^{\circ} \le x \le 60^{\circ}$), consideriamo la soluzione positiva:
$$
\tan(x) = 1 \implies x = 45^{\circ}
$$

Il valore trovato è compatibile con il dominio del problema, poiché $45^{\circ} < 60^{\circ}$. 🙂

QH / 4 = tan(x);

QH = 4 * tan(x)

BQ^2 = 4^2 + QH^2

BQ^2 = 16 + [4 tan(x)]^2;

CQ^2 = 12^2 + [4 tan(x)]^2;

AC^2 = (8 radice3)^2 = 64 * 3 = 192;

CQ^2 = 144 + 16 (tan x)^2;

4 BQ^2 + 1/6 AC^2 = CQ^2,

4 * {16 + [4 tan(x)]^2} + 1/6 * 192 = 12^2 + [4 tan(x)]^2;

4 * [16  + 16 (tan x)^2] + 32 = 144 + 16 (tan x)^2;

64 + 64 (tan x)^2 + 32 - 144 - 16 (tan x)^2 = 0;

48 (tan x)^2 + 64 + 32 - 144 = 0;

48 (tan x)^2 = 48;

(tan x)^2 = 48/48;

tan x = + - 1;

Prendiamo la soluzione positiva, x = angolo acuto.

x  = 45°;  (x = π/4 rad).

[tan x = -1;  x = arctan(-1) = 315° ]

ciao   @frantopd

Il triangolo rettangolo è la metà di un triangolo equilatero di lato = 16 cm

0 < x < pi/3

Quindi:

ΑΒ = 8 cm

ΑC = √(16^2 - 8^2) = 8·√3 cm

ΒΗ = 8·COS(60°) = 4 cm

ΗC = 16 - 4 = 12 cm

QΒ^2 = (4/COS(x))^2 = 16/COS(x)^2 cm^2

ΑC^2 = (8·√3)^2 = 192 cm^2

Th di Carnot:

QC^2 = 16/COS(x)^2 + 16^2 - 2·4/COS(x)·16·COS(x)

QC^2 = (16/COS(x)^2 + 128) cm^2

Deve quindi essere:

4·16/COS(x)^2 + 1/6·192 = 16/COS(x)^2 + 128

64/COS(x)^2 + 32 = 16/COS(x)^2 + 128

64/COS(x)^2 - 16/COS(x)^2 = 128 - 32

48/COS(x)^2 = 96----> COS(x)^2 = 1/2

x = pi/4 = 45°

QΗ = BH = 4 cm