Fissato un parametro reale $a$, con $a \neq 0$, si consideri la funzione $f_a$ cosi definita:
$$
f_a(x)=\frac{x^2-a x}{x^2-a}
$$
il cui grafico sarà indicato con $\Omega_a$.
a) Al variare del parametro a, determinare il dominio di $f_a$, studiarne le eventuali discontinuità e scrivere le equazioni di tutti i suoi asintoti.
b) Mostrare che, per $a \neq 1$, tutti i grafici $\Omega_a$ intersecano il proprio asintoto orizzontale in uno stesso punto e condividono la stessa retta tangente nell'origine.
c) Al variare di $a<1$, individuare gli intervalli di monotonia della funzione $f_a$. Studiare la funzione $f _{-1}(x)$ e tracciarne il grafico $\Omega_{-1}$.
d) Determinare l'area della regione limitata compresa tra il grafico $\Omega_{-1}$, la retta ad esso tangente nell'origine e la retta $x=\sqrt{3}$.
