Non lo so ma l'esercizio 9 è impossibile, perché non potrà mai venire di 25 linee

Ciao,

Immagina di avere 25 pezzi di linee fatte di quadratini (le chiamiamo “linette”). Ogni linetta è lunga quanto un quadratino.

Per fare una figura, a volte non basta usare le linette intere: dobbiamo tagliare una linetta a metà. Così otteniamo due pezzi più piccoli, ciascuno lungo mezzo quadratino.

Adesso puoi usare queste mezze linette per completare la figura senza superare il numero totale di 25 linette.

In pratica, conti tutte le linee della figura: quelle intere + quelle mezze (due mezze fanno una intera) = 25 linette in tutto.

Ecco la figura:

Per il conteggio dell'area , nel quadratino dove ci sono le mezze linee devi considerare metà area.

L'area è: 18,5 quadrettini

saluti ☺️

te ne ho disegnate due (un rettangolo ed un quadrato) di pari perimetro; volevo farti notare che, a pari perimetro, le due relative aree son diverse e, delle due,  la figura che ha l'area maggiore è il quadrato !! Quanto più la due dimensioni del rettangolo differiscono tra loro, tanto minore è l'area (con 10 e 2,5 si han 25 u^2)

Disegna un rettangolo di base 8.5 quadretti e altezza 4

perimetro=2·(8.5 + 4) = 25 u

area=8.5·4 = 34 u^2

Questo esercizio è veramente impossibile (se ogni lato della figura, che presumo debba essere un poligono non intrecciato, deve avere lunghezze intere). Se non tracci linee in obliquo puoi solo tracciarle in alto, in basso, a destra e a sinistra; per chiudere il poligono dovrai prima o poi ripercorrere i passi che hai fatto in alto ma in basso, e i passi a destra a sinistra, quindi se $d$ è il numero di passi a destra e $a$ è il numero di passi in alto hai l'equazione $2a+2d =25$, quindi $2(a+d)=25$

$a+d=\frac{25}{2}$, che non è possibile perché $\frac{25}{2}$ non è intero, mentre $a+d$ lo è perché è una somma di interi, quindi questa è una contraddizione. Quindi se esiste un poligono non intrecciato che è soluzione all'esercizio, questo ha almeno una linea obliqua e le restanti non possono essere solo perpendicolari e parallele a questa linea obliqua perché altrimenti esisterebbe una quadratura in cui tutte queste linee non sarebbero oblique (abbiamo già dimostrato che non è possibile costruire un poligono del genere in quel caso). Se un lato è obliquo deve comunque avere lunghezza intera, con il teorema di Pitagora, le lunghezze intere oblique (che siano minori di $25$) che puoi ottenere sono $3^2+4^2=5^2,12^2+5^2=13^2,8^2+15^2=17^2$. Se hai scelto come lato $17$ la somma dei restanti lati dovrà essere $8$, il che significa che il poligono che cerchi non è un triangolo (perché la somma di due lati deve essere sempre maggiore del terzo, ma chiaramente $8<17$), ma non può essere nient'altro perché sicuramente il perimetro della figura chiusa, comunque tu la disegnassi, sarebbe maggiore di $34$. Puoi fare un ragionamento simile con la misura di $13$ per la tua linea obliqua, in quel caso il perimetro sarebbe sempre maggiore di $26$. Quindi il poligono,se esiste, deve avere almeno un lato obliquo che misura $5$, il restante perimetro quindi deve misurare $20$. Se disegni $4$ lati obliqui da $5$ non puoi chiudere il poligono con un lato non obliquo (puoi verificare questa cosa con carta e penna), se ne fai $1$ solo non puoi comunque chiudere il poligono (anche questo è abbastanza semplice da verificare), quindi le tue uniche possibilità sono $2$ o $3$. Con due è impossibile, perché puoi ottenere un parallelogramma oppure non riuscire a chiudere il poligono, con tre la stessa cosa. Sono abbastanza convinto di questa dimostrazione, gli ultimi passi non mi convincono del tutto, ma sono ottimista.

Per una soluzione non intera basta che disegni un rettangolo di lati $(a,b)$, con $2(a+b)=25 \implies a+b =12.5$, scegli ad esempio $(6, 6.5)$, e avrai $A=6 \cdot 6.5 = 39$.