Calcola con il teorema di Weierstrass.
Spiegare gentilmente i passaggi, i ragionamenti e argomentare.
Calcola con il teorema di Weierstrass.
Spiegare gentilmente i passaggi, i ragionamenti e argomentare.
11881
punti
Livello 2
Problema:
Individuare i punti di massimo e minimo della seguente funzione:
$y=(x-2)^4$ in $[0,3]$
Soluzione:
Dato che la funzione è continua e l'intervallo è un chiuso e limitato di $\mathbb{R}$ (compatto), esistono massimo e minimo in tale intervallo per il teorema di Weierstrass.
Si studia la monotonia tramite la derivata prima nell'aperto (per regolarità va bene anche il chiuso):
$y'=4(x-2)^3$
$y'≥0 \iff x≥2$, ciò significa che la funzione è crescente dopo $2$ e decrescente prima di $2$.
Si individuano alcuni valori:
$y(0)=16$ (estremo sinistro)
$y(3)=1$ (estremo destro)
$y(2)=0$ (annullamento della derivata, punto stazionario)
Il massimo è quindi $y(0)$ dato che la funzione da lì decresce fino a $0$ e poi risale fino a $1$. [$x=0$]
Il minimo è $y(2)$ dato che è il punto più basso toccato dalla funzione. [$x=2$]
6218
punti
Livello 6