Macchina di Atwood

m = 3.4 kg (massa a sinistra)

Μ = 6.2 kg (massa a destra)

Τ = tiro della fune in N (incognita)

a = accelerazione sistema (incognita)

(a diretta verso l'alto per la massa m; diretta verso il basso per la massa M trascinante)

g = 9.806 m/s^2

2^ legge della dinamica per le due masse:

{Τ - m·g = m·a

{Μ·g - Τ = Μ·a

risolvo:

[a = g·(Μ - m)/(m + Μ) ∧ Τ = 2·g·m·Μ/(m + Μ)]

inserisco i dati:

[a = 9.806·(6.2 - 3.4)/(3.4 + 6.2) ∧ Τ = 2·9.806·3.4·6.2/(3.4 + 6.2)]

quindi:

[a = 2.86 m/s^2 ∧ Τ = 43.06 N]

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μ = 4 kg massa aggiuntiva a sinistra (assieme ad m)

t= tensione della fune fra le masse m e μ  (ulteriore incognita)

Quindi tre equazioni (su ogni massa scrivo la 2^ legge della dinamica)

In tal caso l'accelerazione del sistema a è diretta verso il basso a sinistra, mentre a destra è verso l'alto:

{μ·g - t = μ·a

{m·g + t - Τ = m·a

{Τ - Μ·g = Μ·a

Risolvo: 

[a = g·(m - Μ + μ)/(m + Μ + μ) ∧

t = 2·g·Μ·μ/(m + Μ + μ) ∧

Τ = 2·g·Μ·(m + μ)/(m + Μ + μ)]

Inserendo i dati:

[a = 9.806·(3.4 - 6.2 + 4)/(3.4 + 6.2 + 4) ∧

t = 2·9.806·6.2·4/(3.4 + 6.2 + 4) ∧

Τ = 2·9.806·6.2·(3.4 + 4)/(3.4 + 6.2 + 4)]

ottengo:

[a = 0.865 m/s^2 ∧ t = 35.76 N ∧ Τ = 66.16 N]

Due blocchi di massa m2 = 3,4 kg ed m1 = 6,2 kg sono collegati secondo la macchina di Atwood ideale. Determinare l'accelerazione a dei due blocchi e la tensione T della fune.

accelerazione a = g(m1-m3)/(m1+m2) = 9,806*2,8/9,6 = 2,860 m/s^2

tensione T1 = T2  = m1(g-a) = 6,2*(9,806-2,860) = 43,06 N

Al blocco m2 viene appeso attraverso una fune un blocco di massa m3 = 4 kg. Calcolare nuovamente l'accelerazione e la tensione delle funi.

accelerazione a = g(m2+m3-m1)/(m1+m2+m3) = 9,806*1,2/13,6 = 0,865 m/s^2

tensione T1 = T2  = (m2+m3)(g-a) = 7,4*(9,806-0,865) = 66,26 N

tensione T3 = m3*(g-a) = 4*(9,806-0,865) = 35,76 N  

prendiamo come verso positivo il verso della forza peso verso il basso; negativo verso l'alto

il  corpo m1 = 3,4 kg, sale:

m1 g - T = - m1 a;  (1)

il corpo m2 = 6,2 kg, scende:

m2 g - T = m2 a;  (2)

ricaviamo T dalla prima:

T = m1 g + m1 a;  (1)

m2 g - m1 g  - m1 a = m2 a;  (2)

m1 a + m2 a = m2 g - m1 g;  (2)

a (m1 + m2) = g (m2 - m1);

a = g * (m2 - m1) /(m1 + m2);

a = 9,8 * (6,2 - 3,4) / (3,4 + 6,2);

a = 9,8 * 2,8 / 9,6 = 2,86 m/s^2; accelerazione, m1 sale, m2 scende.

T = m1 g + m1 a = m1 * (g + a);

T = 3,4 * (9,8 + 2,86) = 43,04 N; (tensione della fune).

Al blocco m1 a sinistra viene appeso m3 = 4 kg;

adesso m1 + m3 = 3,4 + 4 = 7,4 kg, pesa più di m2, quindi ora m2 sale e m1 + m3 scende.

a = (7,4 - 6,2) * g / (7,4 + 6,2);

a = 1,2 * 9,8 / 13,6 = 0,86 m/s^2;  accelerazione con cui m2 sale ed (m1 + m3) scendono.

Il sistema  accelera più lentamente perché c'è più massa in movimento, la tensione della fune aumenta;

 m2 a destra è trainato verso l'alto:

m2 g - T = - m2 a;

T = m2 g + m2 a = m2 (g + a);

T = 6,2 * (9,8 + 0,86) = 6,2 * 10,66 = 66,09 N; tensione della fune.

T3 è la tensione sulla fune tra m1 ed m3; m3 scende con l'accelerazione a = 0,86 m/s^2;

m3 g - T3 = m3 a;

T3 = m3 g - m3 a =m3 * (g - a);

T3 = 4 * (9,8 - 0,86) = 4 * 8,94 = 35,76 N.

@_giulia_  ciao.