Buongiorno
mi serve una mano anche per l'esercizio 433 vi ringrazio in anticipo
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Livello 1
Problema:
Individuare il valore del seguente limite:
$\lim_{ x \to \frac{\pi}{2}^-} (1 - \cos x)^{\tan x}$
Soluzione:
Si usa la solita tecnica dell'esponenziale sfruttando la continuità di tale funzione.
$\lim_{ x \to \frac{\pi}{2}^-} (1 - \cos x)^{\tan x}=e^{\lim_{ x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan x \ln (1 - \cos x)}$
Si sostituisce $t=\frac{\pi}{2} -x$.
$e^{\lim_{ t \to 0^+} \cot t \ln (1 - \sin t)}=e^{\lim_{ t \to 0^+} \frac{\ln (1 - \sin t)}{\tan t}} $
Utilizzando la tendenza asintotica per $\epsilon (x) \to 0$ di $\ln (1+\epsilon (x) ) \approx \epsilon (x)$ si ottiene:
$e^{\lim_{ t \to 0^+} \frac{\ln (1 - \sin t)}{\tan t}} \approx e^{\lim_{ t \to 0^+} \frac{-t}{\tan t}}$
Si dimostra che $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1$, quindi vale che $e^{\lim_{ t \to 0^+} \frac{-t}{\tan t}}=e^{-1}$.
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Livello 6
60 anni fa, la convergenza asintotica non era argomento affrontato nelle scuole medie superiori. Se è ancora così suggerirei di chiudere, dopo la sostituzione, in questo modo
e^{lim_{t → 0⁺} log(1-sin t) / (tan t) } =
= e^{lim_{t → 0⁺} [log(1-sin t) / (sin t) ] cos t} =
= e^{-1 * 1} = 1/e
@cmc Nei manuali che ho utilizzato durante il quinto anno di liceo scientifico tradizionale, nell’anno scolastico 2023/2024, c'era un paragrafo dedicato a questo argomento.
Il manuale che ho usato fa parte della collana Colori della Matematica di Leonardo Sasso.
Nel bene e nel male, oramai alle scuole superiori c'è la pretesa di coprire quasi interamente il programma dei corsi di Calcolo I senza verificare minimamente le conoscenze propedeutiche al corso degli studenti. Non mi stupirei se, in futuro, introdurranno anche le funzioni lipschitziane nei licei… In effetti, qualche professore sicuramente le tratta già, visto che nei libri di testo si parla già del "teorema di Cauchy-Lipschitz (Picard-Lindelöf)". Spero che matematica non faccia la fine dei pietosissimi corsi di fisica, come si pretende di comprendere l'elettromagnetismo formalizzato matematicamente (argomento di un possibile scritto di maturità) senza neanche sapere, dato che si inizia in quarto superiore, cosa sia un integrale? Mah, alcuni riescono a coprire anche la breve parte di relatività ristretta e meccanica quantistica...
Le cose sono, incredibilmente, cambiate. Bei tempi quando un "AND" pesava più di 4 ettogrammi.