Limiti e continuità

0.

Usiamo l'equazione del fascio di parabole con asse parallelo all'asse delle y, aventi in comune il vertice V(x₀,y₀) (Vertex form)

$ y -y_0 = a(x-x_0)^2 $

$ y-4 = a (x-2)^2 $

Passa per l'origine O(0,0)

$  -4 = a(-2)^2 \; ⇒ \; a = -1$

La parabola cercata è quindi

$ y-4 = - (x-2)^2 \; ⇒ \; y = -x^2+4x $

a.

• Coordinate di $P(3, 3)$
• Coordinate di $Q(x_q, y_q)$ con $x_q > 0$

Usiamo le formula di sdoppiamento visto che P(3,3) è un punto della parabola

$ \frac{y+y_p}{2} = -x_p \cdot x + \frac{x+x_p}{2} $

$ \frac{y+3}{2} = -3 \cdot x + \frac{x+3}{2} $

$ y = -2x+9$

b.

dalla definizione di coefficiente angolare m

$ m = \frac{y_q-y_p} {x_q-x_p}   $

segue

$ m = \frac{y_q-3} {x_q-3}   $

ora, essendo $x_q$ un parametro generico lo chiameremo x per cui

$ m = \frac{y-3} {x-3}   $

ma 

$y = -x^2+4x $ 

sostituendolo

$ m = \frac{-x^2+4x-3} {x-3}   $

$ m = \frac{x^2-4x+3} {3-x}   $

c.  

$ \displaystyle\lim_{x \to 3} m(x) = \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{(x-1)(x-3)}{3-x} =$

$ \displaystyle\lim_{x \to 3} -(x-1) = - 2$

Interpretazione. il limite precedente ha come risultato il coefficiente angolare della retta tangente in P(3,3)