Calcola l'area del triangolo equilatero circoscritto all'ellisse di equazione $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ con un vertice sul semiasse positivo delle $y$.
$$
[2 \sqrt{3}(3+\sqrt{5})]
$$
Ciao a tutti, qualcuno saprebbe aiutarmi con questo esercizio? grazie mille
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Livello 0
Determino equazione lato obliquo BC:
{x^2/4 + y^2/3 = 1
{y = - TAN(60°)·x + q
Quindi sostituisco: y = q - √3·x
x^2/4 + (q - √3·x)^2/3 - 1 = 0
(15·x^2 - 8·√3·q·x + 4·(q^2 - 3))/12 = 0
Impongo la condizione di tangenza: Δ/4 = 0
sull'equazione: 15·x^2 - 8·√3·q·x + 4·(q^2 - 3) = 0
Δ/4 = (- 4·√3·q)^2 - 15·4·(q^2 - 3)
(- 4·√3·q)^2 - 15·4·(q^2 - 3) = 0
180 - 12·q^2 = 0---->q = - √15 ∨ q = √15
y = √15 - √3·x
Il lato tangente orizzontale AB ha equazione y = - √3
Le coordinate dei vertici B e C sono [0, √15]
ed
{y = √15 - √3·x
{y = - √3
soluzione: [x = √5 + 1 ∧ y = - √3]
quindi: [√5 + 1 , - √3]
Il lato del triangolo equilatero misura:
BC=√((√5 + 1)^2 + (- √3 - √15)^2) = 2·√5 + 2
L'area vale
A=√3/4·(2·√5 + 2)^2 = 2·√15 + 6·√3 = 2·√3·(√5 + 3)
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Genius III
mio coefficiente angolare della retta per A e C lo trovi tenendo conto che l’angolo che forma con l’asse x è di 60 gradi, quindi consideri la relazione fra i cateti di un triangolo rettangolo avente un angolo acuto di 60.
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Livello 8
