[Risolto] Leggi della dinamica

Chiamo $m$ il blocco da $0,5 \, kg$ e $M$ il blocco da $3,5 \, kg$.

Sul blocco sospeso agiscono due forze: la forza peso e la tensione della fune.

Quando inizia a muoversi l'equazione dell forze risultanti vale: $mg - T \, = \, ma$

Nel blocco sul piano orizzontale agisce la forza peso che però è bilanciata dall reazione vincolare del piano, mentre parallelamente al piano l'unica forza è la tensione della fune visto che non c'è attrito:

$T \, = Ma$

La tensione della corda è uguale in tutti e due i blocchi perchè la carrucola è ideale, di conseguenza anche l'accelerazione è la stessa. 

Sostituendo questo valore nella prima equazione si ha che:  $mg - Ma \, = \, ma$

$mg - Ma - ma \, = \, 0$

$mg  \, = \, (M+m)a$

$a \, = \, \dfrac{mg}{M + m} \, = \,\dfrac{0,5 \, kg \cdot 9,81 \, \frac{m}{s^{2}}}{4 \, kg} \, = \, 1,22 \frac{m}{s^{2}}$

Il blocco di massa $m \, = \, 0,5 \, kg$ partiva da fermo quindi la legge oraria della posizione in funzione del tempo è: $x \, = \, \dfrac{1}{2}a \, t^{2} \, = \, \dfrac{1}{2} \cdot 1,22 \frac{m}{s^{2}} \cdot (2,90 \, s)^{2} \, = \, 5,13 \, m$.

Se entrambe le masse venissero raddoppiate l'accelerazione varrebbe $a \, = \, \dfrac{2mg}{2 \cdot (M + m)} \, = \, \dfrac{mg}{M + m}$, dunque il blocco da $0,5 \, kg$ impiegherebbe lo stesso tempo per arrivare al suolo.

Su un piano orizzontale senza attrito si trova una massa M di 3,50 kg trascinata da un blocco m di 0,50 kg al quale è unita con una fune (di massa trascurabile) che passa nella gola di una carrucola. Il sistema è tenuto inizialmente fermo e non ci sono attriti. Una volta che viene lasciato libero di muoversi, il blocco di massa minore impiega t = 2,90 s per raggiungere il suolo:

a) a che altezza h era sospeso?

accelerazione a = m*g /(M+m)  = 0,5*9,806 /(3,5+0,5) = 4,903/4 = 1,22575 m/sec^2

h = a/2*t^2 = 1,22575*2,9^2/2 = 5,154 m 

b) Se entrambe le masse vengono raddoppiate, quanto tempo t' impiega il blocco di massa minore per giungere al suolo partendo dalla stessa altezza h' = h ?

accelerazione a' = 2*m*g /(2(M+m))  = 9,806 /8 = 1,22575 m/sec^2 = a (stessa accelerazione)

stessa accelerazione, stessa altezza, stesso tempo t' = 2,9 sec