la parabola

La retta AB è y = 4+x. Quindi m=1. La retta per O è y=x.

La parabola ha equazione del tipo y=ax^2+bx+4 (passa per B(0,4))

Imponi il passaggio per A (-1,3) e ti liberi di un parametro a o b..

Metti a sistema :

{parabola: y =ax^2 +bx +4

{retta: y =x

procedi per sostituzione. Ottieni un’equazione di secondo grado in x con un solo parametro (a oppure b). Imponi la condizione di tangenza e determini la parabola.

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y = a·x^2 + b·x + 4   passa per [-1, 3]

3 = a·(-1)^2 + b·(-1) + 4---> 3 = a - b + 4

a = b - 1

{y = (b - 1)·x^2 + b·x + 4

{y = x

(b - 1)·x^2 + b·x + 4 - x = 0

x^2·(b - 1) + x·(b - 1) + 4 = 0

condizione di tangenza: Δ = 0

(b - 1)^2 - 16·(b - 1) = 0

(b^2 - 2·b + 1) - (16·b - 16) = 0

b^2 - 18·b + 17 = 0

(b - 1)·(b - 17) = 0

b = 17 ∨ b = 1

b=1 si scarta (viene una retta: y = x + 4)

y = (17 - 1)·x^2 + 17·x + 4

y = 16·x^2 + 17·x + 4

• Equazione retta r: passante per A(-1, 3) e B(0,4); y = x+4
• Equazione retta t: parallela alla retta r: e passante per l'origine O(0, 0); y = x
• Equazione generica parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y; $y = ax^2+bx+c$
• Equazione parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y e passante per A(-1, 3) e B(0, 4)

$ 4 = 0+0+c \; ⇒ \; c = 4 $ passa per B
$ 3 = a-b+4 \; ⇒ \; b = a+ 1 $ passa per A

L'equazione della parabola avrà la forma  $ y = ax^2 +(a+1)x + 4 $

Rimane da utilizzare l'ipotesi di tangenza. Valutiamo le intersezioni tra le parabole e la retta tangente t: soluzioni del sistema

$\begin{cases} y = ax^2 +(a+1)x + 4  \\ y = x \end{cases} $

L'intersezione sarà di tangenza se è costituita da un solo punto, cioè una unica soluzione.

Imponiamo che il discriminante sia nullo

$ Δ = a(a-16) = 0$ Si hanno così due soluzioni

1. $a = 0$;    da scartare la parabola degenera
2. $a = 16  \; ⇒ \; b = 17 $

La parabola cercata ha equazione $ y = 16x^2+17x+4 $

Retta AB che passa in A (-1; 3) e in B (0;4):

y = m x + q;

3 = m * (-1) + q;

4 = m * 0 + q ;  passaggio per i due punti A e B;

q = 4;

3 = - m + 4;

m = 4 - 3 = + 1;

Retta AB: y = x + 4;

retta parallela ad AB e passante in (0; 0); q = 0;

y = x ; retta che deve essere tangente alla parabola da trovare;

y = ax^2 + bx + c; parabola generica;

passa in A (- 1; 3);

3 = a * (-1)^2 + b * (- 1) + c;

a - b + c = 3;

passa in B (0; 4);

4 = a * 0 + b * 0 + c;

c = 4;

a - b + 4 = 3;

a - b = - 1;

a = b - 1;

y = (b - 1) x^2 + bx + 4;    (1)   parabola;  (ci manca b);

y = x;   (2)   retta;  

troviamo i punti di intersezione retta e parabola; sostituiamo la  (2) nella (1):

x = (b - 1) x^2 + bx + 4;   (1)

(b - 1) x^2 + bx + 4 - x = 0;  (1)

(b - 1) x^2 + (b - 1) x + 4 = 0;   (1)

le intersezioni non devono essere due, devono coincidere nel punto di tangenza.

Discriminante,  [Δ = b^2 - 4ac = 0]; condizione di tangenza;

x = {- (b - 1) +- radicequadrata[(b - 1)^2 - 4 * (b - 1) * 4]} /[2 * (b - 1)];

(b - 1)^2 - 4 * (b - 1) * 4 =

= (b - 1)^2 - 16 (b - 1) = 0;  raccogliamo (b - 1):

(b - 1) * (b - 1 - 16) = 0

(b - 1) * (b - 17) = 0;   Δ si annulla se:

b = 1;

b = 17;

se prendiamo b = 1, la parabola y = (b - 1) x^2 + bx + 4;  diventa:

y = x + 4; è la retta tangente.

prendiamo b = 17;

y = (17 - 1) x^2 + 17x + 4;

y = 16 x^2 + 17 x + 4; parabola;

ciao @muta