K nell iperbole

Confrontando con x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

si trova

1/a^2 = 3k

1/b^2 = 8 - k

equilatera significa b = a

1/a^2 = 1/b^2

3k = 8 - k

4k = 8

k = 2

La forma della  generica iperbole equilatera è:

$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 $

per essere equilatera dovrà valere

$ \frac{1}{3k} = -\frac{1}{k-8} $

$ 8-k = 3k$

$ k = 2$

Ti lascio il compito della verifica.

Partiamo dall'equazione di un'iperbole, che può essere:

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ se i fuochi sono sull'asse $x$, altrimenti $-\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ se i fuochi sono sull'asse $y$.

Supponiamo che i fuochi siano sull'asse $x$, allora procediamo a portare l'equazione parametrica in forma canonica:

$3kx^2+(k-8)y^2=\dfrac{x^2}{\frac{1}{3k}}-\dfrac{y^2}{\frac{1}{8-k}}=1$

(ho semplicemente invertito il numeratore in modo da averlo al denominatore e cambiato il segno del coefficiente di $y^2$ per avere un meno davanti).

Perché un'iperbole sia equilatera, deve accadere che $a=b$, ricordiamo che $\frac{1}{3k} =a^2,\ \frac{1}{8-k}=b^2$, i quadrati devono essere positivi (ogni quadrato di un numero reale è positivo) quindi:

$3k>0 \implies k>0 \land \ 8-k >0 \implies k<8 \implies 0<k<8$.

Adesso poniamo $a=b \implies a^2=b^2$, ossia $\frac{1}{3k}=\frac{1}{8-k} \implies 3k=8-k$, da cui $k=2$.

Ipotizziamo che i fuochi siano sull'asse $y$, quindi avremo:

$(k-8)y^2+3kx^2=\dfrac{y^2}{\frac{1}{k-8}}-\dfrac{x^2}{\frac{1}{-3k}}=1$.

Poniamo di nuovo $k-8>0 \implies k>8 \land -3k >0 \implies k<0$, che è una contraddizione. Quindi non esiste alcun valore di $k$ che determina una parabola equilatera con i fuochi sull'asse $y$.

L'unica soluzione è $k=2$.

Puoi trascinare $k$ su questo grafico per vedere come cambia l'iperbole al variare di $k$: