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[Risolto] invertibilità riferito alla tangente

  

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Buonasera a tutti.

Quando io parlo di invertibilità riferito alla tangente devo prendere un intervallo(-π/2,π/2) del dominio e dico che in quel intervallo è invertibile. Prendiamo ad esempio l'arcotangente Essa è definita su tutto il dominio e sul codominio tra (-π/2,π/2) Quando io parlo della sua invertibilità però mi riferisco al condominio, ovvero che è invertibile se -π/2<arctanx<π/2

In sostanza quello che voglio capire è perché una volta ci riferiamo al dominio ed una volta al condominio? Se voglio parlare di invertibilità di una funzione dove devo guardare? Il dominio o il codominio? Non so se sono stato chiara

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Tenendo sempre presente le definizioni

 

Una generica funzione per essere invertibile deve essere biunivoca (iniettiva e suriettiva). La funzione tangente , essendo periodica, non è iniettiva e quindi di per sé non invertibile. Per renderla iniettiva è necessario quindi restringere il suo dominio tra, per esempio, -pi/2 e pi/2. Questo è un modo ma non l'unico,  puoi trovare infiniti intervalli del dominio dove restringere la funzione in modo tale da renderla iniettiva.

Ora, la funzione arcotangente è limitata per sua natura tra -pi/2 e pi/2 ma l'insieme di arrivo coincide con R. La funzione non è suriettiva e quindi non imvertibile. Per renderla biunivoca possiamo limitare il codominio della funzione (i valori che essa assume) te renderla suriettiva.

Quindi per parlare di invertibilitá devi guardare sia il dominio che il codominio della funzione.



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