Integrazione per parti

Problema:

Si calcoli il seguente integrale:

$\int_1^n \ln x dx$

Soluzione:

Si utilizza il metodo di integrazione per parti, per fare ciò è necessario vedere l'integrale come:

$\int_1^n \ln x dx=\int_1^n 1\ln x dx$

Si dimostra che l'integrazione per parti è definibile come $\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g' (x)dx$.

Nel caso in questione si considera $f'(x)=1$ e $g(x)=\ln x$.

Si ottiene quindi:

$\int_1^n \ln x dx=[x \ln x]^n_1-\int_1^n x \frac{1}{x} dx= n \ln n - [x]_1^n=n \ln n - (n-1)=n \ln n -n +1 =n(\ln n -1)+1$.

Per risolvere l'integrale del logaritmo si utilizza il metodo per parti dove un fattore è la funzione log(x) e l'altro è il fattore nascosto cioè 1. 

• fattore finito. $ f(x) = log(x)  \; ⇒ \; f'(x) = frac{1}{x} $
• fattore differ. $ g'(x) = 1 \; ⇒ \; g(x) = x$

per cui, applicando l'integrazione per parti

$ \int_1^n log(x) \, dx = \left. x \cdot \log(x) \right|_1^n - \int_1^n \frac{1}{x}\, x \, dx =$

$                              = n \cdot \log(n) - 1 \cdot log(1) - \int_1^n 1 \, dx =$

$                              = n \cdot \log(n) - n + 1 $