Buonasera mi serve una mano per l'esercizio 445
Buonasera mi serve una mano per l'esercizio 445
196
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Livello 1
Riscriviamo il testo.
$ \int \frac{cosx}{e^{x+1}} \, dx = \frac{1}{e} \int e^{-x}cosx \, dx $
Affrontiamolo per parti
fattore finito. $ f(x) = cos x \; ⇒ \; f'(x) = - sinx $
fattore differ. $ g'(x) = e^{-x} \; ⇒ \; g(x) = - e^{-x}$
per cui
$ \int \frac{cosx}{e^{x+1}} \, dx = \frac{1}{e}[-cosx e^{-x} - \int sinx e^{-x} \, dx] $
Affrontiamolo per parti
fattore finito. $ f(x) = sin x \; ⇒ \; f'(x) = cosx $
fattore differ. $ g'(x) = e^{-x} \; ⇒ \; g(x) = - e^{-x}$
si ottiene così
$\frac{1}{e} \int e^{-x}cosx \, dx = \frac{1}{e}[\frac{sinx-cosx}{e^x} - \int e^{-x}cosx \, dx]$
Osserviamo che un addendo del lato destro coincide con il termine a sinistra. Portiamolo a sinistra
$ \frac{2}{e} \int e^{-x}cosx \, dx = \frac{1}{e}[\frac{sinx-cosx}{e^x}] +c$
$ \frac{2}{e} \int e^{-x}cosx \, dx =\frac{sinx-cosx}{e^{x+1}} +c$
Riscriviamolo come nel testo
$ \int \frac{cosx}{e^{x+1}} \, dx = \frac{sinx-cosx}{2 e^{x+1}} +c$
21742
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Livello 6