[Risolto] Integrali e funzioni

Ti svolgo i primi due punti a) e b)

y = a·LN(x)·(LN(x) + b)

Passa da A e da M:

{0 = a·LN(1)·(LN(1) + b)

{-1 = a·LN(e)·(LN(e) + b)

quindi: 

{true

{a·b + a = -1

La prima è verificata per il logaritmo. Alla seconda bisogna aggiungere l'informazione sulla derivata in A

y'=dy/dx=2·a·LN(x)/x + a·b/x

che per x=1 vale -2 (coefficiente angolare retta tangente in A)

Quindi:

2·a·LN(1)/1 + a·b/1 = -2----> a·b = -2

{a·b + a = -1

{a·b = -2

soluzione: [a = 1 ∧ b = -2]

Funzione: y = LN(x)^2 - 2·LN(x)

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A meno della costante di integrazione, una primitiva è:

∫(LN(x)^2 - 2·LN(x))dx = x·LN(x)^2 - 4·x·LN(x) + 4·x

Il testo, per la primitiva fornisce:

F(x) =c·x·(LN(x) + d)^2= c·x·LN(x)^2 + 2·c·d·x·LN(x) + c·d^2·x

Per confronto si deduce il valore di c: c = 1 per cui si ha

x·LN(x)^2 + 2·d·x·LN(x) + d^2·x

Un confronto ulteriore indica che:

2·d = -4-----> d = -2

per cui si ha la primitiva:

F(x)=x·LN(x)^2 + 2·(-2)·x·LN(x) + (-2)^2·x= x·LN(x)^2 - 4·x·LN(x) + 4·x

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Punto c)

G(x) = x·LN(x)^2 - 4·x·LN(x) + 4·x + c

[1, 0] passa per tale punto:

0 = 1·LN(1)^2 - 4·1·LN(1) + 4·1 + c

0 = c + 4----> c = -4

G(x) = x·LN(x)^2 - 4·x·LN(x) + 4·x - 4

LIM(x·LN(x)^2 - 4·x·LN(x) + 4·x - 4) = -4

x---> 0+

G'(x)=LN(x)^2 - 2·LN(x)

G''(x)=2·LN(x)/x - 2/x

C.N. G'(x)=0

LN(x)^2 - 2·LN(x) = 0

x = e^2 v x = 1

x = e^2 : G''(e^2)=2·LN(e^2)/e^2 - 2/e^2= 2·e^(-2)>0

minimo

G(e^2) = e^2·LN(e^2)^2 - 4·e^2·LN(e^2) + 4·e^2 - 4 = -4

x = 1: G''(1)=2·LN(1)/1 - 2/1 = -2 < 0

massimo

G(1)=1·LN(1)^2 - 4·1·LN(1) + 4·1 - 4= 0

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flesso:

2·LN(x)/x - 2/x = 0------> x = e

G(e) = e·LN(e)^2 - 4·e·LN(e) + 4·e - 4 = e - 4

b) F(x) = c*x*(ln(x) + d)^2
* F'(x) = c*ln^2(x) + 2*c*(d + 1)*ln(x) + c*d*(d + 2)
* (f(x) = a*ln^2(x) + a*b*ln(x)) & (a*b != 0)
* F'(x) = f(x) ≡
≡ (c = a) & (2*c*(d + 1) = a*b) & (c*d*(d + 2) = 0) & (a*b != 0) ≡
≡ (c = a != 0) & ((b = - 2) & (d = - 2) oppure (b = 2) & (d = 0))
cioè
* F(x) = a*x*(ln(x) - 1 ± 1)^2
* (f(x) = a*ln^2(x) ± 2*a*ln(x)) & (a != 0)
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a) Con (a != 0) & (b != 0)
* f(x) = y = a*ln^2(x) + a*b*ln(x)
deve
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a1) passare per A(1, 0) e per M(e, - 1), perciò
* (0 = a*ln^2(1) + a*b*ln(1)) & (- 1 = a*ln^2(e) + a*b*ln(e)) ≡
≡ (0 = 0) & (- 1 = a*(b + 1)) ≡
≡ b = - (a + 1)/a
* f(x) = y = a*ln^2(x) - (a + 1)*ln(x)
* f'(x) = (a*(2*ln(x) - 1) - 1)/x
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a2) tangere la
* x + y/2 = 1 ≡ y = - 2*(x - 1)
di pendenza meno due; perciò si deve avere
* f'(1) = - 2 ≡
≡ (a*(2*ln(1) - 1) - 1)/1 = - 2 ≡
≡ a = 1
da cui
* b = - (1 + 1)/2 = - 2
* (c = a = 1) & (b = - 2) & (d = - 2)
* F(x) = x*(ln(x) - 2)^2
* F'(x) = f(x) = y = ln^2(x) - 2*ln(x)
* F''(x) = f'(x) = 2*(ln(x) - 1)/x
in quanto
* (a, b, c, d) = (1, - 2, 1, - 2)
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c) P(x, C) = ∫ f(x)*dx = F(x) + c = x*(ln(x) - 2)^2 + C
* P(1, C) = 1*(ln(1) - 2)^2 + C = 0 ≡ C = - 4
* G(x) = x*(ln(x) - 2)^2 - 4
* G'(x) = ln^2(x) - 2*ln(x)
* G''(x) = 2*(ln(x) - 1)/x
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c1) lim_(x → 0+) (x*(ln(x) - 2)^2 - 4) = - 4
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c2) Flessi
* G''(x) = 2*(ln(x) - 1)/x = 0 ≡ x = e
* F(e, e*(ln(e) - 2)^2 - 4) = (e, e - 4)
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c3) Minimi
* (G'(x) = 0) & (G''(x) > 0) ≡
≡ (ln^2(x) - 2*ln(x) = 0) & (x > e) ≡
≡ ((x = 1) oppure (x = e^2)) & (x > e) ≡
≡ x = e^2
* min(e^2, (e^2)*(ln(e^2) - 2)^2 - 4) = (e^2, - 4)
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c4) Massimi
* (G'(x) = 0) & (G''(x) < 0) ≡
≡ ((x = 1) oppure (x = e^2)) & (x < e) ≡
≡ x = 1
* max(1, 1*(ln(1) - 2)^2 - 4) = (1, 0)