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[Risolto] Integrali e funzioni

  

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a. Indica quale delle seguenti funzioni può descrivere l'andamento del grafico in figura,
$$
\begin{aligned}
& f(x)=2 e^{-x^2}+k \\
& f(x)=\cos (k x)-1, \\
& f(x)=k x^4-2 k x^2
\end{aligned}
$$
e determina il valore di $k$.
b. Tra le primitive della funzione, determina quella che passa per il punto $A$ e disegnane il grafico.
c. Detta $C$ l'intersezione tra la primitiva trovata e l'asse $y$, verifica che il grafico della primitiva è simmetrico rispetto a $C$.
$\left[\right.$ a) $f(x)=2 x^4-4 x^2$; b) $\left.F(x)=\frac{2}{5} x^5-\frac{4}{3} x^3-\frac{16}{15}\right]$

es 2

Qualcuno mi aiuterebbe?

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1 Risposta



1

Si scartano la prima e la seconda funzione in quanto la funzione data deve essere pari ed illimitata superiormente. Quindi:

y = k·x^4 - 2·k·x^2

image

Passa per A: [1, -2]

-2 = k·1^4 - 2·k·1^2----> -2 = -k----> k = 2

Quindi:  y = 2·x^4 - 4·x^2

-------------------------------

F(x)=∫(2·x^4 - 4·x^2) dx = 2·x^5/5 - 4·x^3/3 + C

2·1^5/5 - 4·1^3/3 + C = -2 ( passa per A(1,-2))

C - 14/15 = -2------> C = - 16/15

F(x)= 2·x^5/5 - 4·x^3/3 - 16/15

image

-----------------------------------

{y = 2·x^5/5 - 4·x^3/3 - 16/15

{x = 0

Quindi soluzione: [x = 0 ∧ y = - 16/15]

Determino quindi la funzione simmetrica rispetto al punto C: [0, - 16/15]. Quindi faccio le sostituzioni:

x------> 2·0 - x =-x

y------> 2·(- 16/15) - y = -y - 32/15

Se la funzione simmetrica che ottengo coincide con la funzione di partenza significa che C è centro di simmetria per la funzione stessa

-y - 32/15 = 2·(-x)^5/5 - 4·(-x)^3/3 - 16/15

-y - 32/15 = - 2·x^5/5 + 4·x^3/3 - 16/15

y = 2·x^5/5 - 4·x^3/3 - 16/15

OK verificato!!

 

 



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