Integrali

Question

[attach]115827[/attach] Risolvere l'integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE. Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

$  int _0^{ pi } sinx  sqrt {1+cosx} , dx = $   a. CON Poniamo $ t = 1+cosx ; ⇒ ; sinx , dx = - dt    inoltre Se x = 0 allora t = 2 Se x = π allora t = 0    $ = -  int _2^0 t^{ frac {1}{2}} , dt = $ $ =  int _0^2 t^{ frac {1}{2}} , dt = $ $ =  left .  frac {2}{3} t^{ frac {3}{2}}  right |_0^2 = $ $ =  frac {2}{3} . 2  sqrt {2} =  frac {4}{3}  sqrt {2} $     b. SENZA $  int _0^{ pi } (1+cosx)^ frac {1}{2} . sin x , dx = $ osserviamo che sin x è eguale all'opposto della derivata prima 1+cosx per cui applicando la formula dell'integrale immediato relativo alle potenze $ = -  left .  frac {2}{3} (1+cosx)^ frac {3}{2}   right |_0^{ pi } =$ $ =  frac {2}{3} (2  sqrt {2}) = $ $ =   frac {4}{3}  sqrt {2} $

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