Integrali

Question

[attach]115825[/attach] Risolvere l'integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE. Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

$  int _{-1}^0  frac {x}{x^2-4} , dx = $   a. SENZA riscriviamolo in modo da renderlo immediato $ =  frac {1}{2}  int _{-1}^0  frac {2x}{x^2-4} , dx = $ Il numeratore è proprio la derivata del denominatore quindi $ =  frac {1}{2}  left . ln|x^2-4|  right |_{-1}^0 =$ $ =  frac {1}{2} (ln(4) - ln(3)) = $ $ = -  frac {1}{2} (ln(3) - ln(4)) = $ $ = -  frac {1}{2} ln( frac {3}{4}) $     b. CON Poniamo $ t = x^2-4 ; ⇒ ; dt = 2x, dx ; ⇒ ;  frac {dt}{2} = x , dx   inoltre Se x = -1 allora t = -3 Se x = 0 allora t = -4   $ =  frac {1}{2}  int _{-3}^{-4}  frac {1}{t} , dt = $ $ =  frac {1}{2}  left . ln|t|  right |_{-3}^{-4} =$ $ =  frac {1}{2} (ln(4) - ln(3)) = $ $ = -  frac {1}{2} (ln(3) - ln(4)) = $ $ = -  frac {1}{2} ln( frac {3}{4} )$

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