Integrali

Senza sostituzione;

∫[8x] dx + 2 * ∫[e^(-2x)] dx; calcolato  tra - 1 e 0;

[8 x^2 / 2] + 2 * [e^(- 2x) / (- 2)] =

= [4 x^2] - [e^(-2x)] ; calcolato  tra - 1 e 0; sostituiamo prima lo 0 poi - 1;

= 0 - e^0 - [4 * 1 - e^2] = - 1 - 4 + e^2 =

= e^2 - 5.

t = 2x;

x = t/2; dx = dt/2;

∫[4t] dt /2 + 2 ∫[e^(- t)] dt / 2; 

2 t^2/2 +  [- e^(-t)] = t^2 - e^(-t);

t = 2x;

[4x^2 - e^(-2x)] ; calcolato  tra - 1 e 0;

otteniamo lo stesso integrale...

ciao  @alby

Sono integrali elementari, non occorre risolverli sostituendo!! 

$ \int_{-1}^0 8x+2e^{-2x} \, dx $

a.  CON

La sostituzione è evidente. Poniamo $ t = -2x \; ⇒ \; dx = -\frac{dt}{2} $ inoltre 

• Se x = -1 allora t = 2
• Se x = 0 allora t = 0

$ = \frac{1}{2} \int_2^0 -4t + 2e^t \, dt = $

$ = \left. t^2 - e^t \right|_2^0 = $

$ = -1-4+e^2 = e^2 - 5 $ 

b. SENZA

Sfruttiamo la proprietà additiva degli integrali

$ = \int_{-1}^0 8x \, dx + 2 \int{-1}^0 e^{-2x} \, dx =$  

questi sono due integrali elementari

$ = \left. 4x^2 \right|_{-1}^0 + 2 \left. (-\frac{1}{2}) e^{-2x} \right|_{-1}^0 =$

$ = - 4 -1 + e^2 =  e^2 - 5 $