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Calcoliamo dapprima l'integrale indefinito e di seguito applichiamo il teorema fondamentale del calcolo. $ int x , ln(1+x) , dx = $ Per sostituzione. Poniamo $ t = 1+x ; ⇒ ; x = t-1 ; ⇒ ; dx = dt $ $ = int (t-1) , ln(t) , dt = $ La presenza del logaritmo ci suggerisce di affrontarlo per parti fattore finito. $ f(x) = ln, t ; ⇒ ; f'(x) = frac {1}{t} $ fattore differ. $ g'(x) = t - 1 ; ⇒ ; g(x) = frac {t^2}{2} - t $ per cui $ = ( frac {t^2}{2} - t), ln,t - int frac {t}{2} - 1 , dt = $ $ = ( frac {t^2}{2} - t), ln,t - frac {t^2}{4} +t + c = $ $ = ( frac {(x+1)^2}{2} - x-1 ), ln,(x+1) - frac {(x+1)^2}{4} +x+1 + c = $ $ = ( frac {(x+1)^2}{2} - x-1), ln,(x+1) - frac {(x+1)^2}{4} +x + c = $ Passiamo al definito $ = left . ( frac {(x+1)^2}{2} - x-1), ln,(x+1) - frac {(x+1)^2}{4} +x right |_0^1 =$ $ = ( frac {4}{2}-2)ln(2) - frac {4}{4}+1 ; - ; 0 + frac {1}{4} + 0 = $ $ = frac {1}{4}

Integrale definito

Calcoliamo dapprima l'integrale indefinito e di seguito applichiamo il teorema fondamentale del calcolo.

$ \int x \, ln(1+x) \, dx = $

Per sostituzione. Poniamo $ t = 1+x \; ⇒ \; x = t-1 \; ⇒ \; dx = dt $

$ = \int (t-1) \, ln(t) \, dt = $

La presenza del logaritmo ci suggerisce di affrontarlo per parti

fattore finito. $ f(x) = ln\, t \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{t} $
fattore differ. $ g'(x) = t - 1 \; ⇒ \; g(x) = \frac{t^2}{2} - t $

per cui

$ = (\frac{t^2}{2} - t)\, ln\,t - \int \frac{t}{2} - 1 \, dt = $

$ = (\frac{t^2}{2} - t)\, ln\,t - \frac{t^2}{4} +t + c = $

$ = (\frac{(x+1)^2}{2} - x-1 )\, ln\,(x+1) - \frac{(x+1)^2}{4} +x+1 + c = $

$ = (\frac{(x+1)^2}{2} - x-1)\, ln\,(x+1) - \frac{(x+1)^2}{4} +x + c = $

Passiamo al definito

$ = \left. (\frac{(x+1)^2}{2} - x-1)\, ln\,(x+1) - \frac{(x+1)^2}{4} +x \right|_0^1 =$

$ = (\frac{4}{2}-2)ln(2) - \frac{4}{4}+1 \; - \; 0 + \frac{1}{4} + 0 = $

$ = \frac{1}{4}$

Integrale definito

Domande