Integrale

a. Soluzione ODE omogenea associata. 

• Equazione differenziale. $ y$"$ +2y'+y = 0$
• Polinomio caratteristico. $ λ^2 + 2λ +1 = (λ+1)^2 $
• Radici polinomio caratteristico. $ λ = -1 $ con molteplicità 2
• Soluzione ODE omogenea associata. $ c_1 e^{-x} + c_2 x e^{-x} $ 

b. Soluzione particolare.

Cerchiamo una soluzione della forma

$ \bar{y}(x) = Acosx + Bsinx $   da cui

$ \bar{y}'(x) = B cosx - A sinx $

$ \bar{y}$"$(x) = - A cosx - B sinx $

Introducendole nell'ODE

$ -Acosx -Bsinx+2Bcosx-2Asinx+ Acosx+Bsinx = - cosx \; ⇒ \; A = 0; B = -\frac{1}{2} $

una soluzione particolare è

$ \bar{y}(x) = -\frac{1}{2} sin x$ 

c. Soluzione generale dell'ODE.

$ y(x) = c_1 e^{-x} + c_2 x e^{-x} - \frac{1}{2} sinx $

d. Problema di Cauchy

• Derivata soluzione generale dell'ODE. $ y(x) = -c_1 e^{-x} + c_2 (x-1) e^{-x} - \frac{1}{2} cosx $

Ricaviamo le relazioni tra le costanti c₁, c₂

-) $ c_1 = 1$

-) $ -1 + c_2 - \frac{1}{2} = 0 \; ⇒ \; c_2 = \frac{3}{2} $

La soluzione del problema di Cauchy è così

$ y(x) = e^{-x} + \frac{3}{2} x e^{-x} - \frac{1}{2} sinx $