Integrale

S_[3,4] (x - 2 + 2)/(x - 2) dx =

= S_[3,4] [ 1 + 2/(x - 2) ] dx =

= [ x + 2 ln | x - 2 | ]_[3,4] =

= 4 - 3 + 2 ln 2 - 2 ln 1 =

= 1 + 2 ln 2

x - 2 = t

x = t + 2

dx = dt

S_[1,2] (t + 2)/t dt =

= S_[1,2] [ 1 + 2/t ] dt =

= [ t + 2 ln |t| ]_[1,2] =

= 2 - 1 + 2 ln 2 - 2 ln 1 =

= 1 + 2 ln 2

Senza sostituzione: bisogna separare...

∫[x / (x - 2)] dx; calcolato da 3 a 4;

∫[ (x - 2 + 2) / (x - 2)] dx = ∫[(x -2) / (x - 2)] dx + ∫[ 2 / (x - 2)] dx;  calcolato da 3 a 4;

∫1 dx + ∫[ 2 / (x - 2)] dx =

= [x] + 2 [ ln|x - 2| ];  calcolato da 3 a 4;  sostituiamo prima 4 e poi 3;

= 4 + 2 ln2 - [3 + 2 ln1] = 4 + 2 ln2 - 3 - 0 =

= 1 + 2 ln2.

Con sostituzione:

x - 2 = t;

x = t + 2;

dx = dt;

∫[(t + 2) / t] dt = ∫[1 + 2/t] dt; calcolato da 3 a 4; 

∫[1] dt  + ∫[2/t] dt = [t] + [2 (ln t)];

t = x - 2;

= (x - 2) + [2 ln(x - 2)] calcolato da 3 a 4;

(4 - 2 + 2 ln(4 - 2) - [ 3 - 2 + 2 ln(3 - 2)] =

2 + 2 ln(2) - [1 + 2 ln(1)] = 2 - 1 + 2 ln(2) = 1 + 2 ln(2).

Ciao @alby