HELP problema di ottimizzazione

Per il teorema di Pitagora deve essere:

z = √(x^2 + y^2) = ipotenusa

x,y cateti

Quindi hai:

z = √(x^2 + y^2) da minimizzare con il vincolo:

1/2·x·y = 6---> y = 12/x

Quindi procedi per sostituzione:

z = √(x^2 + (12/x)^2)---> z = √(x^4 + 144)/x

Poni z'(x)=0

(x^4 - 144)/(x^2·√(x^4 + 144)) = 0

x^4 - 144 = 0----> x = 2·√3 cm

y = 12/(2·√3)---> y = 2·√3 cm

quindi triangolo rettangolo isoscele.

Chiamiamo i cateti x ;  y;

Area = y * x / 2 = 6 cm^2;

y * x  = 6 * 2;

y = 12 / x; (iperbole),

vogliamo l'ipotenusa minima:

 y^2 + x^2 = ipotenusa^2; teorema di Pitagora;

(12/x)^2 + x^2 = minimo;

 f(x) = (144/x^2) + x^2 ;

per avere il minimo poniamo la derivata di f(x) = 0;

f(x) = 144 * x^-2 + x^2;

f'(x) = 144 * (-2) x^(-3) + 2x = - 288/ x^3 + 2x;

- 288/ x^3 + 2x = 0; moltiplichiamo per x^3

- 288 + 2x^4 = 0; dividiamo per 2;

x^4 = 144;

x^2 = 12;

x = radice(4 * 3); prendiamo la soluzione positiva; siamo in geometria.

x = 2 * radice(3);

y = 12/x  = 12 / ( 2 * radice3) = 6 * radice(3) / 3;

y = 2 radice(3);

i due cateti sono congruenti; il triangolo è metà quadrato, l'ipotenusa minima è la diagonale del quadrato che ha per lato = 2 radice(3);

diagonale quadrato  = lato * radice(2);

ipotenusa minima = [2 * radice(3)] * radice(2)  = 2 * radice(6);

Perimetro = 2 radice(3) + 2 radice(3) + 2 radice(6);

Perimetro = 4 radice(3) + 2 radice(6) = 2 * [2 radice(3) + radice(6)].

Ciao @oppenheimer

È il triangolo rettangolo isoscele

m*n = 2A = 12

 ipotenusa i minima:

 m^2 + n^2 = i^2

m^2+(12/m)^2  deve essere minimo

f(m) = (144/m^2) + m^2 

f'(m) = 0

f'(m) = - 288/m^3 + 2m

- 288/m^3 + 2m = 0

 288 = 2m^4 

m^4 = 144

m^2 = 12

m = √(4*3)...si porta 4 fuori radice

m = 2√3

n = 12/m  = 12/(2√3)  = 6*√3 /3 = 2√3 = m 

i = √m^2+n^2 

i = √12+12 = √24 = 2√6

perimetro 2p = m+n+i = 4√3+2√6 = 2(2√3+√6)

...il che implica, come più volte ricordato, come sia il quadrato  ad essere il quadrilatero di minor perimetro a pari area .