Buon pomeriggio, chiedo gentilmente se qualcuno mi potrebbe aiutare su altri due problemi, ecco il primo:
Nel punto più lontano (apogeo) la Luna dista 4.06x10⁵ km dalla Terra, nel punto più vicino (perigeo) 3.63x10⁵. Il periodo della Luna è di 27,32 d.
Calcola il semiasse maggiore dell'orbita ellittica della Luna.
Calcola la costante K della terza legge di Keplero.
Ringrazio anticipatamente
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Livello 2
R apogeo = 4,06 * 10^5 km;
R perigeo = 3,63 * 10^5 km;
a = semiasse maggiore = (R apogeo + R perigeo) / 2;
a = distanza media della Luna dalla Terra; (R medio)
a = ( 4,06 * 10^5 + 3,63 * 10^5) / 2 = 3,845 *10^5 km;
a = 3,845 * 10^8 m; (in metri)
terza di Keplero per i satelliti della Terra, per la Luna e ora anche per i tanti satelliti artificiali:
(Rmedio)^3 / T^2 = K
a^3 / T^2 = costante;
si può scrivere anche l'inverso: T^2 / R^3 = costante inversa; quale preferisci?
T = 27,32 giorni = 27,32 * 86400 secondi/(giorno) = 2,36 * 10^6 s; (periodo in secondi);
a^3 / T^2 = (3,845 * 10^8)^3 / (2,36 * 10^6)^2 = 56,845 * 10^24 / (5,57 * 10^12) = K
K = 10,2 * 10^12 m^3 / s^2;
l'inverso 1/K = T^2 / a^3 = 9,8 * 10^-14 s^2 / m^3.
Ciao @socrate
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Genius II
Usa il cerchio nero per spostare la luna (il diagramma non è in scala):
Come puoi vedere, possiamo facilmente calcolare il semiasse maggiore dell'orbita della luna considerando il sistema:
$\begin{cases} d_1 =a+c \\ d_2 =a-c \end{cases}$
Sommando membro a membro, otteniamo che $2a= d_1+d_2 \implies a=\dfrac{d_1+d_2}{2}=\dfrac{4.06 \cdot 10^5\ km + 3.63 \cdot 10^5\ km}{2}=3.83 \cdot 10^5\ km$.
La terza legge di Keplero afferma che il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione è direttamente proporzionale al cubo del semiasse maggiore, cioè:
$\dfrac{T^2}{a^3}=k$
Quindi $k=\dfrac{(27.32 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\ s)^2}{(3.83 \cdot 10^8\ m)^3} \approx 9.92 \cdot 10^{-14}\ s^2/m^3$.
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Livello 3
@gabo Dal cap. 7 del testo dell'Amaldi leggo quanto segue. La terza legge di Keplero afferma: Il rapporto fra il cubo del semiasse maggiore a dell'orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione T è lo stesso per tutti i pianeti. Vale cioè la relazione k=(a^3)/(T^2). Ovviamente è costante anche il reciproco di K che è l'espressione da te scritta
@Gregorius, di solito io la trovo sempre formulata come $\dfrac{T^2}{a^3}=k$, quindi l'ho scritta così, ma, come giustamente hai sottolineato, anche il reciproco di una costante è costante.
@gabo Sì, capito. Grazie mille a tutti
@gabo Ciao @gabo! Grazie per la tua osservazione, è un ottimo spunto per chiarire una sottigliezza importante.
La risposta breve è: Abbiamo ragione entrambi, nel senso che esprimiamo la stessa proporzionalità, ma il libro (Il Nuovo Amaldi cap. 7 da cui è stato tratto il problema) e la fisica moderna adottano la convenzione più diffusa nei testi di fisica generale.
Per capirci nel dettaglio:
La scoperta di Keplero: Keplero scoprì una relazione di proporzionalità diretta: il quadrato del periodo (T^2) è proporzionale al cubo del semiasse maggiore (a^3). Matematicamente, questo si scrive come T^2/a^3.
La costante di proporzionalità: Per trasformare una proporzionalità in un'equazione, dobbiamo introdurre una costante. Possiamo farlo in due modi matematicamente equivalenti:
Modo A (quello usato dall'Amaldi):a^3 = k T^2, che si riscrive come k = a^3/T^2.
Modo B (quello che hai usato tu): T^2 = C a^3, che si riscrive come C = T^2/a^3.
Come vedi, k e C sono semplicemente l'uno il reciproco dell'altro (k = 1/C). Entrambe le formule descrivono correttamente la legge di Keplero. Quindi, dal punto di vista della legge in sé, non c'è un "giusto" o "sbagliato"
Perché il libro sceglie a^3/T^2? La convenzione moderna:
Qui sta il punto cruciale. Il motivo per cui la maggior parte dei libri di testo di fisica (come l'Amaldi) preferisce la forma a^3/T^2 = costante è che questa è la forma che emerge naturalmente dalla dimostrazione newtoniana della legge di Keplero.
Quando Isaac Newton derivò la terza legge dalla sua legge di gravitazione universale, ottenne la formula: (a^3)/(T^2)= GM/4π^2. In questa formula, G è la costante di gravitazione universale e M è la massa del corpo centrale. Questa equazione è fondamentale perché ci dice da cosa dipende quella costante (dalla massa del corpo attorno a cui si orbita). È la forma standard utilizzata in fisica, astrofisica e in tutti i contesti scientifici contemporanei.
Riassumendo:
La tua formula T^2/a^3 è corretta e storicamente legata al modo in cui Keplero enunciò la legge (osservando come il periodo varia con la distanza).
La formula del libro a^3/T^2 è quella che viene utilizzata universalmente nella fisica moderna perché si collega direttamente alle costanti fondamentali (G e M) e alla legge di gravitazione. In conclusione, non c'è un errore da parte tua, ma solo l'uso di una convenzione diversa. Il libro, seguendo l'impostazione della fisica newtoniana, adotta la forma a^3/T^2, che è quella che poi viene utilizzata per calcolare, per esempio, la massa del Sole o di un pianeta.
Devo ammettere tuttavia che nella risoluzione dell'esercizio io avevo un vantaggio notevole su di te. Possedendo il libro da cui l'esercizio è stato tratto conoscevo il valore numerico della soluzione, che è quello da me calcolato. Quindi sono partito avvantaggiato. A volte nella vita ci vuole anche un po' di fortuna, oltre alla bravura che tu possiedi in quantità considerevole. Con stima, ciao
