Grafico di funzione.

$ y(x) = x^3 \, ln|x| $

• Dominio = ℝ\{0}
  • Un solo punto di discontinuità in x = 0

• Simmetria. La funzione è dispari, infatti
  • $ y(-x) = (-x)^3 \, ln|-x|  = - x^3\, ln|x| $

• Asintoti e limiti
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = -\infty$  per confronto di infiniti (le potenze vincono i logaritmi)
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty$
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0} y(x) = 0$  Discontinuità di 3° tipo eliminabile.
    • Risultati coerenti con la simmetria
  • Asintoti verticali. Nessuno, il candidato è in realtà una discontinuità eliminabile
  • Asintoti orizzontali. Nessuno, vedi limiti precedenti
  • Asintoti obliqui. Nessuno, la funzione " se ne va all'infinito come una potenza cubica" Ti consiglio di calcolare m e q per concludere in modo rigoroso.

• Segno y(x)

________-1______0______1________

----------------------0++++++++++++  x³

++++++0---------X---------0+++++++  ln|x|

-----------0+++++X--------0+++++++   y(x)

1. y(x) < 0  in (-∞, -1) e in (0, 1)
2. y(x) = 0  per x = 0
3. y(x) > 0  in (-1, 0) e in (1, +∞)

• Estremi assoluti
  • dal limite per x→-∞ segue che inf y(x) = -∞ quindi non esiste il minimo assoluto
  • dal limite per x→+∞ segue che sup y(x) = +∞ quindi non esiste il massimo assoluto

• Punti stazionari
  • derivata prima. $ y'(x) = x^2(3 ln|x| + 1)$
  • Punti stazionari.
    1. $x = 0$   da scartare, la funzione non è definita nell'origine ma, la sua estesa si.
    2. $x = - \frac{1}{\sqrt[3]{e}}$
    3. $x = \frac{1}{\sqrt[3]{e}} $

• Massimi, minimi relativi e flessi orizzontali

• • segno della derivata prima

_______-1/³√e_______0_______ 1/³√e____

+++++++++++++++0+++++++++++++    x²

+++++++0-------------X------------0++++++   3ln|x| +1

+++++++0-------------X------------0++++++   y'(x)

......↗.......=.......↘.......X......↘.......=.....↗......   y(x)

1. y(x) < 0  in (-1/³√e, 0) e in (0, 1/³√e)    la funzione y(x) è decrescente in ogni singolo intervallo
2. y(x) = 0  per:
   1. x = -1/³√e dove si ha un massimo relativo di valore y = 1/(3e) (a sinistra sale a destra scende) 
   2. x = 1/³√e dove si ha un minimo relativo y = -1/(3e) (a sinistra scende a destra sale) 
   3. x = 0 se consideriamo l'estensione di y(x) si ha un flesso orizzontale.
3. y(x) > 0  in (-∞, -1/³√e) e in (1/³√e, +∞) la funzione y(x) è decrescente in ogni singolo intervallo

Il tutto è coerente con la simmetria della funzione.

• Grafico

https://www.desmos.com/calculator/kwifftbelh