Continuità

dati: 

1. Triangolo ABC con $ \bar{AB} = \bar{BC} = \bar{CA}$
2. $ \bar{PB} = x \; ⇒ \; \bar{PC} = 2-x $
3. Applicando Carnot $ \bar{AP}^2 = \bar{AB}^2 +\bar{BP}^2 - 2\bar{AB}\cdot \bar{BP}\cdot cos{\frac{\pi}{3}} $ 

$ \bar{AP}^2 = 4 +x^2 - 2\cdot 2 \cdot 2 \frac{1}{2} $

$ \bar{AP}^2 = x^2-2x+4 $

per cui

$y(x) = \frac{\bar{PA}^2 + \bar{PB}^2}{\bar{PC}^2} = \frac{2x^2-2x+4}{(2-x)^2} $

• Dominio = ℝ\{2}
  • Un solo punto di discontinuità

• Segno
  • Il numeratore è positivo per ogni x reale. il trinomio ha ha discriminante negativo (Δ=-28)
  • Il denominatore è positivo per ogni x del Dominio.

quindi

• Segno f(x) > 0 per ogni x∈Dominio

• Asintoti verticali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 2} y(x) = +\infty$
  • Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 2

• Asintoti orizzontali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = 2$
  • Si tratta di un asintoto orizzontale di equazione y = 2

• Punti intersezione curva / asintoto orizzontale.

Si ottengono risolvendo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= \frac{2x^2-2x+4}{(2-x)^2} \\ y &= 2 \end{aligned} \right. $

$ 2x^2-2x+4 = 2(4-4x+x^2) $

$ 6x = 4 $

$ x = \frac{2}{3} \; ⇒ \; A(2/3, 2) $

• Grafico

con in evidenza (traccia rossa) della parte relativa al Problema geometrico; determinata imponendo le due diseguaglianze

0 < x < 2

https://www.desmos.com/calculator/5obyn1ljnz