a.
a.1 $f(-3) = \frac{1}{2} \implies \sqrt[3]{-3+a} = 2 \implies a = 11$
a.2 $f(-12) = g(2) \implies \frac{1}{\sqrt[3]{-12+11}} = 4+b \implies b = -5$
b.
$f \circ g (x) = f(g(x)) = \frac {1}{\sqrt[3]{(x^2-5)+11}} = \frac {1}{\sqrt[3]{(x^2+6}}$
$g \circ f (x) = g(f(x)) = \frac {1}{\sqrt[3]{(x+11)^2}} - 5$
c.
c.1 $dom (f \circ g (x)) = ℝ$
c.2 $dom (g \circ f (x)) = ℝ \setminus \{-11\}$
d.
d.1 g(x) non è iniettiva, infatti g(-1) = g(1) quindi non è invertibile
d.2 f(x)
- è iniettiva. Si dimostra per assurdo
- è suriettiva?
Osserviamo che per nessun valore della variabile x la funzione assume il valore nullo. Se escludiamo il punto f(x)=0 allora possiamo dire che è suriettiva, infatti l'equazione che segue ammette almeno una soluzione.
$f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x+11}} \implies f(x)^3 = \frac{1}{x+11} \implies x = \frac{1}{f(x)^3} - 11$
cioè se mi dici un valore f(x) (non nullo), di tuo gradimento posso dirti quale x avrà f(x) come immagine.
Solita procedura in 3 passi:
i) scrivo la funzione nella forma $ y = \frac{1}{\sqrt[3]{x+11}}$
ii) Scambio tra loro le due variabili $ x = \frac{1}{\sqrt[3]{y+11}}$
iii) Risolvo in y.
$ x^3 = \frac{1}{y+11}$
$ y = \frac{1}{x^3} - 11$
per cui l'inversa sarà
$f^{-1}(x) = \frac{1}{x^3} - 11$
Nota. L'inversa, come prevedibile, non è definita per x = 0.
