Flessi

$ y =\frac{2x^2-x+2}{x^2+1} $

• Dominio = ℝ
• E' una funzione razionale fratta quindi continua e derivabile laddove definita.

$ y' = \frac{x^2-1}{(x^2+1)^2} $

$y' ' = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} $

• Flessi.

$y' ' = 0  \; ⇒ \; x^2 = \frac{1}{3}$

1. $x = -\sqrt{3} $  
2. $x = \sqrt{3} $ 
3. $ x = 0 $

sono tre potenziali punti di flesso  

Studiamo il segno della derivata seconda

______-√3_______0________√3_______
++++++++++++0-------------------------   -3x
+++++0-------------------------0++++++    x²-3
+++++0-----------0+++++++0-----------    y"

....∪....f......∩......f.......∪.......f......∩......     y(x)

Nei tre casi c'è un cambio di concavità quindi sono flessi.

ii) tipo di flesso

a cosa tende la derivata prima? 

$ \displaystyle\lim_{x \to - \sqrt{3}}   y'(x) = \frac{1}{8} $
$ \displaystyle\lim_{x \to  \sqrt{3}}   y'(x) = \frac{1}{8} $
$ \displaystyle\lim_{x \to 0}  y'(x) = -1 $

tre numeri reali diversi da zero, quindi si tratta di tre flessi obliqui.