Flessi

y = LN(x^2 + 4)

C.E. R

y'= 2·x/(x^2 + 4)

y''= 2·(4 - x^2)/(x^2 + 4)^2

Il segno della derivata seconda dipende dal binomio: 

(4 - x^2)

Quindi:

y''>0 se 4 - x^2 > 0

quindi per -2 < x < 2

in cui la f(x) ha concavità verso l'alto

y''<0 se 4 - x^2 < 0

quindi per x < -2 ∨ x > 2

in cui la f(x) ha concavità verso il basso

y''=0

per 4 - x^2 = 0---> x = -2 ∨ x = 2

in cui presenta due flessi.

$ y(x) =  ln(x^2+4) $ 

• Dominio = ℝ 

y"$(x) = \frac{2(4-x^2)}{x^2+4}$ 

• Zeri della derivata seconda. x = ± 2 

Studio del segno della derivata seconda. 

_______-2________2______

-----------0++++++0--------  2(4-x^2)

-----------0++++++0--------  y"(x)

....∩.....≠..... ∪ ......≠....∩....  y(x)

Legenda

∪ = convessa

∩ = concava

≠ = flesso

X = non definita

Conclusioni.

1. La funzione y(x) è convessa in (-2, 2)
2. La funzione y(x) è concava in (-∞, -2) e in (2, +∞)    
3. Per x = -2   si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)
4. Per x = +2   si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)