[Risolto] ex. numero 340 pag 408 - fasci di circonferenze

Determino il fascio di circonferenze imponendo il passaggio di:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

dai punti dati.

{(-2)^2 + 1^2 + a·(-2) + b·1 + c = 0

{0^2 + 5^2 + a·0 + b·5 + c = 0

quindi risolvo il sistema in a e b in funzione di c:

{2·a - b - c = 5

{5·b + c = -25

ed ottengo: [a = 2·c/5 ∧ b = - (c + 25)/5]

Quindi il fascio:

x^2 + y^2 + 2·c/5·x - (c + 25)/5·y + c = 0

Circonferenze aventi raggio minimo

Riconosco le coordinate del loro centro: [- c/5, (c + 25)/10]

Riconosco il raggio: 

r = √((- c/5)^2 + ((c + 25)/10)^2 - c)

sviluppo il radicando: r = √((c^2 - 10·c + 125)/20)

Riconosco che il radicando ha andamento parabolico in c per cui il minimo si ha in corrispondenza di 

c = 5

ed in corrispondenza il raggio vale: r = √((5^2 - 10·5 + 125)/20) = √5

x^2 + y^2 + 2·x - 6·y + 5 = 0

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x^2 + y^2 + 2·c/5·x - (c + 25)/5·y + c = 0

Disegno:

Determini i vertici ed i centri di due triangoli. Quest'ultimo sono:

[1,2] e [-3,4]

Quindi:

{- c/5 = 1

{(c + 25)/10 = 2

ottieni c = -5

x^2 + y^2 + 2·(-5)/5·x - (-5 + 25)/5·y + (-5) = 0

x^2 + y^2 - 2·x - 4·y - 5 = 0

{- c/5 = -3

{(c + 25)/10 = 4

ottieni: c = 15

x^2 + y^2 + 2·15/5·x - (15 + 25)/5·y + 15 = 0

x^2 + y^2 + 6·x - 8·y + 15 = 0

Non è molto importante il metodo di risoluzione di un singolo esercizio, il prossimo sarà diverso!
Quello che importa è l'esame del testo: inquadrare l'argomento, comprendere i quesiti, rammentare (o copiare dal libro) i modelli matematici che consentono di calcolare le risposte.
1) Inquadrare l'argomento della tua traccia
Si tratta del fascio di circonferenze di cui sono dati due punti base A e B.
L'equazione è quella della generica circonferenza non degenere con centro nel generico punto C(xC, yC) sull'asse del segmento congiungente i punti base e con raggio r la comune distanza del centro dai punti base: r = |AC| = |BC|.
Modelli da rammentare
1a) retta asse del segmento di estremi dati
1b) generico punto di una retta di equazione data
1c) distanza fra due punti dati
1d) generica circonferenza non degenere di centro e raggio dati
2) Esame dei quesiti
a) aventi raggio minimo.
Nel modello 1d il raggio r e il centro C sono in funzione del parametro (k, ad esempio) adottato in 1b: r(k), C(xC(k), yC(k)); se r(k) ha minimi, il minimo dei minimi determina il valore di k con cui particolarizzare 1d.
b) circoscritte al quadrato di lato AB.
Attorno al lato AB si possono costruire due quadrati speculari di centri K1 e K2; C = K1 e C = K2 hanno per soluzioni i valori di k che soddisfanno alla consegna.
c) tangenti all'asse x, indicando il punto di tangenza.
Nel modello 1d anche C è funzione di k; si ha tangenza, in T(xC(k), 0), per yC(k) = r(k).
d. aventi centro di ascissa 4.
Banale! xC(k) = 4 determina il valore di k necessario.
3) Risoluzione
L'asse del segmento di estremi A(- 2, 1) e B(0, 5) è il luogo dei punti C(x, y) equidistanti da A e B
* |AC|^2 = |BC|^2 ≡
≡ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + (y - 5)^2 ≡
≡ y = (5 - x)/2
il cui cursore è C(k, (5 - k)/2) con
* |AC|^2 = r^2 = 5*(k^2 + 2*k + 5)/4
* r(k) = √(5*(k^2 + 2*k + 5))/2
da cui l'equazione del fascio
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (5 - k)/2)^2 = 5*(k^2 + 2*k + 5)/4
Quesito a
* r(k) = √(5*(k^2 + 2*k + 5))/2 >= r(- 1) = √5
* Γ(- 1) ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 5
Quesito b
Troppa dattilografia, pensaci da te.
Quesito c
* yC(k) = r(k) ≡
≡ (5 - k)/2 = √(5*(k^2 + 2*k + 5))/2 ≡
≡ (k = - 5) oppure (k = 0)
alle Γ(k) e ai T(k, 0) pensaci da te.
Quesito d
Banale! k = 4, al resto pensaci da te.