Esponenziali 2

$f(x)=\frac{1-(\frac{1}{e})^{1-x}}{\sqrt[3]{10}-\sqrt{10^{1-x}}}$

Semplifichiamo il numeratore ricordando che $\frac{1}{e}=e^{-1}$

$f(x)=\frac{1-e^{x-1}}{\sqrt[3]{10}-\sqrt{10^{1-x}}}$

non abbiamo problemi nei radicandi dato che $10^{1-x}$ è sempre positiva perché è esponenziale, quindi dobbiamo solo assicurarci che il denominatore sia diverso da $0$:

$\sqrt[3]{10}-\sqrt{10^{1-x}} \neq 0$

$\sqrt[3]{10} \neq \sqrt{10^{1-x}}$ ricordo che $\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$, poi elevo al quadrato moltiplicando gli esponenti

$10^{\frac{2}{3}} \neq 10^{1-x}$

$\log(10^{\frac{2}{3}}) \neq \log(10^{1-x})$
$\frac{2}{3} \neq 1-x$

$x \neq 1-\frac{2}{3}$

$x \neq \frac{1}{3}$.

Studiamo il segno di $f(x)$ partendo con lo studio del numeratore:

$1-e^{x-1} \geq 0$

$e^{x-1} \leq 1$

$\ln(e^{x-1} ) \leq \ln1$

$x-1 \leq 0$

$x \leq 1$

Ora studiamo il denominatore:

$\sqrt[3]{10}-\sqrt{10^{1-x}} > 0$

$\sqrt{10^{1-x}} < \sqrt[3]{10}$

Possiamo direttamente elevare al quadrato perché ogni termine di questa disuguaglianza è sempre positivo

$10^{1-x} < 10^{\frac{2}{3}}$

$\log(10^{1-x}) < \log(10^{\frac{2}{3}})$

$1-x < \frac{2}{3}$

$x> \frac{1}{3}$

Con lo studio dei segni abbiamo che

$f(x) > 0 \implies \frac{1}{3} < x < 1$, $f(x) <0 \implies x<\frac{1}{3} \lor x >1$

L'unico zero della funzione è chiaramente $x=1$, perché $1-e^{x-1}=0 \implies x=1$.

Quello che dovrai disegnare tu è la parte blu di questo piano cartesiano (che mostra il variare del segno al variare di $x$), ho disegnato anche il grafico della funzione per dimostrare che i calcoli sono corretti)