Esercizio verifica limite

Ci proviamo.

• Dominio. D = ℝ\{-2} 

dalla definizione di limite

$ \forall ε > 0 \quad \exists δ > 0 \; t.c. \; \left|\frac{1}{x+2} -\frac {1}{3} \right| < ε  \qquad \forall x \in (1-δ, 1+δ) \setminus \{1\} \cap \, D$

Notiamo che non c'è nessuna interferenza con D.

L'ultima parte può essere scritta come

$ \forall (x -1) \in(-δ, +δ) \setminus \{0\} $

Partiamo dalla

$ \left|\frac{1}{x+2} -\frac {1}{3} \right| < ε $

$ \left|\frac{3}{x+2} - 1 \right| < 3ε $

$ -3ε < \frac{3}{x+2} - 1 < 3ε $

$ 1-3ε < \frac{3}{x+2} < 1+3ε $

non è limitativo considerare gli ε minori di 1/3, passiamo ai reciproci

$ \frac{1}{1+3ε} < \frac{x+2}{3} < \frac{1}{1-3ε} $

$ \frac{3}{1+3ε} <x+2 < \frac{3}{1-3ε} $

sommo -3 a tutti i termini

$ \frac{3}{1+3ε} -3 < x-1 < \frac{3}{1-3ε} -3 $

$ -9\frac{ε}{1+3ε} < x-1 < 9\frac{ε}{1-3ε}$

Siamo di fronte a due diversi valori di δ questo significa che l'intervallo non è simmetrico. Se lo vogliamo esprimere con un unico valore di δ, scegliamo il minimo tra i due

$ δ = 9\frac{ε}{1+3ε} $

Abbiamo così dimostrata l'esistenza di almeno un δ.