[Risolto] Esercizio tra circonferenze e rette

Essendo le circonferenze tangenti ad entrambe le rette, i loro centri sono su una delle due bisettrice dell'angolo formato dalle rette date. 

(y-2x)/radice 5 =[ ±2(y+1/2)]/radice 5

Da cui si ricavano le due bisettrici 

y=-3x

y=(1/3)x

Passando le due coniche per {0;3) la retta dei centri è y= - 3x

Quindi 

C(xC; - 3xC)

Imponendo la condizione che la distanza centro retta sia uguale alla distanza di C da P si ricava 

5*xC²=10*xC²+18*xC+9

Da cui 

xC= - 3 => yC= 9 ; R= CP= radice 45

(x+3)²+(y-9)²=45

x²+y²+6x-18y+45=0

Secondo centro:

xC= - 3/5 => yC= 9/5 ; CP= (3/5)*radice (5)

In effetti la risoluzione del sistema:

{(a + 2·b)^2 - 20·c = 0

{(4·a - 2·b)^2 - 80·c = 0

{9 + 3·b + c = 0

è lunghetta . Ti porta come soluzione:

[a = 6 ∧ b = -18 ∧ c = 45 ; a = 6/5 ∧ b = - 18/5 ∧ c = 9/5]

Provo a vedere qualcos'altro...

Strade alternative se ne trovano sempre, c'è da vedere se comportano più o meno calcoli (e fatti come).
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Per me la generica circonferenza Γ, di centro C(a, b) e raggio r = √q,
* Γ(a, b, q) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ha tre gradi di libertà: i tre parametri (a, b, q).
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Fra queste ∞^3 tutte quelle per P(0, 3) devono ottemperare al vincolo
* (0 - a)^2 + (3 - b)^2 = q
cioè sono solo ∞^2
* Γ(a, b) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2 + (3 - b)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*b*y + 6*b - 9 = 0
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Determinare quelle tangenti ad entrambe le rette
* t1 ≡ y = 2*x ≡ 2*x - y = 0
* t2 ≡ y = - x/2 ≡ x/2 + y = 0
vuol dire imporre che, intersecando Γ(a, b) con l'iperbole
* H ≡ (2*x - y)*(x/2 + y) = x^2 - y^2 + (3/2)*x*y = 0
rappresentante la coppia di rette, si devono ottenere due punti reali doppi; cioè, per valori reali di (a, b), si devono azzerare i due discriminanti
* Δ1 = (2*a - b)^2 - 15*(2*b - 3)
* Δ2 = (a + 2*b)^2 - 15*(2*b - 3)
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* ((2*a - b)^2 = 15*(2*b - 3)) & ((a + 2*b)^2 = 15*(2*b - 3)) ≡
≡ (a, b) = (- 3, 9) oppure (a, b) = (- 3/5, 9/5)
da cui
* Γ1 ≡ (x + 3)^2 + (y - 9)^2 = 45
* Γ2 ≡ (x + 3/5)^2 + (y - 9/5)^2 = 9/5

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/problema-di-geometria-analitica-con-circonferenze-e-rette-tangenti/