Definisci ricorsivamente la progressione geometrica il cui termine generale è an= -3 \cdot 2^{n-2}.
Definisci ricorsivamente la progressione geometrica il cui termine generale è an= -3 \cdot 2^{n-2}.
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Livello 0
Problema:
Definisci ricorsivamente la progressione geometrica il cui termine generale è $a_n=-3 \cdot 2^{n-2}$.
Soluzione:
La richiesta della forma ricorsiva di una progressione equivale a chiedere una successione espressa nella forma $a_n=qualcosa (a_{n-1})$.
Poiché la progressione è geometrica, si deve avere $n-2≥0 \to n≥2$, dunque il primo termine è $a_2=-3$.
Adesso converrebbe ricavare $a_{n-1}$ visto che la ricorsiva dipende da questo valore.
$a_{n-1}=-3 \cdot 2^{n-3}$.
Mettendo il relazione di rapporto i termini, si ottiene $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{-3\cdot 2^{n-2}}{-3\cdot 2^{n-3}}=2$, ossia $a_n=2a_{n-1}$, si noti che ciò vale solo per $n≥3$ dato che $n=2$ è definito da $a_2=-3$.
Dunque la successione in forma ricorsiva è il seguente sistema:
$\{a_2=-3, a_n=2a_{n-1} \ \ \ n≥3\}$.
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Livello 6
@rebc grazie mille, sei stata molto chiara. voglio chiederti una cosa per essere sicuro al 100%, sia nell’ultimo passaggio dopo il calcolo che hai trovato che si ottiene 2 e sia alla fine hai messo n-1 come predice, ma non andrebbe messo come apice?
$n-1$ è messo come pedice perché rappresenta la posizione di un certo numero della successione; in realtà è possibile inserirlo anche come apice, ma non assume il significato di potenza, ma solo quello di posizione. Per farti capire meglio il concetto ti mostro un esempio, tieni a mente che la successione è solo una sequenza di numeri, casuali o non.
Considera la sequenza 1,1,2,3,5,..., si chiama sequenza di Fibonacci. Scrivendo $a_3$ si intende il numero nella posizione numero 3. Dunque si ha $a_3=2$.
Nel problema che hai richiesto, con $a_{n-1}$ si intende il valore della sequenza alla posizione $n-1$; non per nulla c'è anche la lettera $a$. Ad ogni modo, presumo ti sia confuso con il valore $2$, il procedimento per arrivare a quel risultato è risolvere l'equazione $\frac{a_n}{a_{n-1}}=2$, quindi basta moltiplicare entrambi i membri per $a_{n-1}$. Se hai altri dubbi chiedi pure perché conviene risolverli appena appaiono. 😉
@rebc grazie mille! ho ancora un piccolo dubbio, te alla fine hai scritto che si ottiene 2an-1, però non mi torna tantissimo perché quella di una progressione geometrica non era a1 per q n-1?
Domanda eccellente dato che nel quesito si ha un caso particolare. La progressione geometrica è definita per esponenti positivi, nel nostro caso il termine 2 aveva come esponente $n-2$, dunque è stato necessario porre $n-2≥0$, ossia $n≥2$, quindi il primo termine, quello che chiami $a_1$, nel caso in questione è $a_2$. È un po' bizzarra come cosa, infatti solitamente si usa la sostituzione $t=n-2$, se lo fai ricorda di sostituire $n$ anche nell'espressione, in modo da avere qualcosa del tipo $a_t$ dove il primo termine è $a_{t=0} \equiv a_{n=2}$. In questo esempio però ho fatto partire il tutto da $0$ e non da $1$, altro giochino molto utile dei matematici/informatici; se vuoi farlo partire da 1 inserisci $k=n-2+1$.
Non ho messo la sostituzione per evitare di appesantire dato che presumo che il quesito sia rivolto ai liceali, dunque mi sono attenuta ad una spiegazione più leggera. Se sei uno studente universitario alle prese con analisi I questa informazione ti tornerà molto utile perché si usa spesso anche nelle serie numeriche.