Esercizio su circonferenze

$\textbf{a.}$

Se due circonferenze sono tangenti esternamente, la distanza fra i centri è uguale alla somma dei raggi. Iniziamo calcolando la lunghezza di $\overline{BC}$=r_B+r_C$:

Dato che $\overline{BC}$ è parallelo all'asse $y$, possiamo trovare facilmente la sua lunghezza sottraendo le ordinate dei due punti, quindi $\overline{BC} = \frac{16}{5}-(-\frac{9}{5})=\frac{25}{5}=5$. Annotiamo che $r_B+r_C=5$. Ora calcoliamo la lunghezza $\overline{AC} = r_C+r_A= \sqrt{(\frac{7}{5}+1)^2+(\frac{16}{5})^2}=\sqrt{\frac{400}{25}}=\sqrt{16}=4$. Infine calcoliamo $\overline{AB} = r_A+r_B= \sqrt{(\frac{7}{5}+1)^2+(\frac{9}{5})^2}=\sqrt{\frac{225}{25}}=\sqrt{9}=3$. Adesso risolviamo il sistema di equazioni che segue:

$\begin{cases} r_C + r_B = 5 \\ r_A + r_C = 4 \\ r_A+ r_B = 3 \end{cases}$

Sottraggo la seconda alla prima e mantengo la seconda e la terza nel sistema

$\begin{cases} r_B - r_A = 1 \\ r_A + r_C = 4 \\ r_A+ r_B = 3 \end{cases}$

Ora aggiungo la prima all'ultima e tengo la prima nel sistema, riaggiungo $r_C+r_B=5$:

$\begin{cases} 2r_B=4 \\ r_B-r_A=1 \\ r_C + r_B=5 \end{cases}$

Risolviamo direttamente:

$\begin{cases} r_A = 1 \\ r_B = 2 \\ r_C = 3 \end{cases}$

Adesso abbiamo raggio e centro di ciascuna circonferenza, quindi possiamo impostare le equazioni che seguono:

$\gamma _A :\ (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r_A^2$
$\gamma _B:\ (x-x_B)^2+(y-y_B)^2 = r_B^2$

$\gamma _C:\ (x-x_C)^2+(y-y_C)^2= r_C^2$

Che diventano

$\gamma _A :\ (x+1)^2+y^2=1 \implies \gamma _A :\ x^2+y^2+2x=0$

$\gamma _B:\ (x-\frac{7}{5})^2+(y+\frac{9}{5})^2=4 \implies \gamma _B:\ x^2 +y^2 -\frac{14}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{49}{25}+\frac{81}{25}-4=0 \implies \gamma _B:\ 5x^2+5y^2 -14x+18y+6=0$

$\gamma _C :\ (x-\frac{7}{5})^2+(y-\frac{16}{5})^2 = 9 \implies \gamma _C :\  x^2+y^2-\frac{14}{5}x-\frac{32}{5}+\frac{49}{25}+\frac{256}{25}-9=0 \implies \gamma _C :\ 5x^2+5y^2-14x-32y+16=0$

$\textbf{b.}$

Per i punti $D,E,F$ ho scelto la configurazione che vedi:

Dato che $\overline{BC}$ è parallelo all'asse $y$, la tangente è chiaramente $y=y_D$, perché la tangente è sempre perpendicolare al raggio con il punto di tangenza (che è parallelo all'asse $y$). Possiamo facilmente calcolare $y_D$ sapendo che si trova su $x=\frac{7}{5}$ e che la distanza da $B$ è $r_B$, quindi $y_E=y_B+r_B=-\frac{9}{5}+2 = \frac{1}{5}$, quindi una tangente è $y=\frac{1}{5} \implies 5y-1=0$. Possiamo trovare le altre tangenti come assi radicali delle restanti coppie di circonferenze. L'asse radicale di due circonferenze che si intersecano in 2 punti è la retta passante per i punti di intersezione; le circonferenze sono tangenti in $E$, l'asse radicale è la tangente in $E$ alle circonferenze (la definizione di asse radicale è più complessa, per i fini dell'esercizio ci limiteremo a questa osservazione). L'asse radicale si ottiene sottraendo l'equazione di una circonferenza all'altra (in modo da elidere i termini di secondo grado), quindi:

$\begin{cases} 5x^2+5y^2-14x-32y+16=0 \\ x^2+y^2+2x=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 5x^2+5y^2-14x-32y+16=0 \\ 5x^2+5y^2+10x=0 \end{cases}$ teniamo la seconda equazione nel sistema e sottraiamo la prima alla seconda

$\begin{cases} 10x+14x+32y-16=0 \\ x^2+y^2+2x=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x+4y-2=0 \\ x^2+y^2+2x=0 \end{cases}$

$3x+4y-2=0$ è la retta tangente in $F$. Per trovare $F$ ci basta risolvere per sostituzione, ti risparmio i calcoli: $F=(-\frac{2}{5},\frac{4}{5})$.

Troviamo la retta tangente in $E$ ora:

$\begin{cases} 5x^2+5y^2 -14x+18y+6=0 \\ x^2+y^2+2x=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 5x^2+5y^2-14x+18y+6=0 \\ 5x^2+y^2+10x=0 \end{cases}$

Ripeto gli stessi passaggi

$\begin{cases} 24x -18y -6=0 \\ x^2+y^2+2x=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x-3y-1=0 \\ x^2+y^2+2x=0 \end{cases}$

$4x-3y-1=0$ è la tangente in $E$, che sostituendo e risolvendo scopriamo avere coordinate $E=(-\frac{1}{5},  -\frac{3}{5})$.

Calcoliamo l'intersezione fra due di queste tangenti e verifichiamo che anche la terza tangente passi per quel punto:

$\begin{cases} 5y-1=0 \\ 4x-3y-1=0 \end{cases}$

$\begin{cases} y =\frac{1}{5} \\ 4x -\frac{3}{5}-1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} y=\frac{1}{5} \\ x=\frac{2}{5} \end{cases}$

Quindi $T=(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

$\textbf{c.}$

$T$ è il centro di questa circonferenza, perché $\overline{DT} \cong \overline{FT} \cong \overline{ET}$ per il teorema delle tangenti, in pratica il punto $T$ è equidistante da tutti gli altri punti di tangenza, quindi è il circocentro di $DFE$. Calcoliamo $r$ per arrivare a $c$, $r= \overline{DT} = \frac{7}{5}-\frac{2}{5}= \frac{5}{5}=1$ perché $\overline{DT}$ è parallelo all'asse $x$, quindi basta sottrarre le ascisse.

$(x-\frac{2}{5})^2+(y-\frac{1}{5})^2=1$

$x^2+y^2-\frac{4}{5}x-\frac{2}{5}y+\frac{4}{25}+\frac{1}{25}-1=0$

$5x^2+y^2-4x-2y-4=0$.

Forse non conoscevi il teorema delle tangenti ma è molto semplice da derivare, basta sapere che l'intersezione di un raggio con la tangente forma sempre un angolo retto.