Esercizio ottimizzazione derivata

x·y = S

S= superficie rettangolo; x= base; y = altezza

y = √(d^2 - x^2)

essendo d= diagonale = costante nota

S = x·√(d^2 - x^2)

è massima per S' = 0 (C.N.)

S' = √(d^2 - x^2) - x^2/√(d^2 - x^2)

Quindi:

(d^2 - 2·x^2)/√(d^2 - x^2) = 0

x = - √2·d/2 ∨ x = √2·d/2

quindi:

y = √(d^2 - (√2·d/2)^2) = √2·d/2

Si ha: x=y quindi un quadrato

A = b * h;

d^2 = b^2 + h^2;

b^2 = d^2 - h^2 ;

h = x; altezza;

b = radicequadrata(d^2 - x^2) = (d^2 - x^2)^1/2;

Area = h * b;

Area = y;

y = x * (d^2 - x^2)^1/2;

massima se y'= 0;

derivata di un prodotto:

y'(x) = 1 * (d^2 - x^2)^1/2 + x * 1/2 * (d^2 - x^2)^(1/2 - 1) * (- 2x);

y'(x) = (d^2 - x^2)^1/2 - x^2 * 1/ [(d^2 - x^2)^1/2];

y'(x) = radice (d^2 - x^2)- x^2 /[radice(d^2 - x^2)]; 

radice (d^2 - x^2)  - x^2 /[radice(d^2 - x^2)] = 0;  moltiplichiamo per radice(d^2 - x^2)

d^2 - x^2  - x^2 = 0;

2 x^2 = d^2;

x^2 = d^2 / 2 ;

x = d / radice(2); altezza;

b = radicequadrata(d^2 - x^2),

b = radicequadrata(d^2 - d^2 /2) = radice(d^2/2); ( base),

base e altezza devono essere congruenti. (Lati congruenti = d / radice(2)

b = d * radice(2) / 2; 

h = d * radice(2) / 2.

Il rettangolo di area massima è un quadrato.

Ciao @max321

Il problema é elementare infatti

se x é l'angolo tra base e diagonale,

S = b * h = d cos x * d sin x =

= d^2/2 sin 2x

che é massimo [ in [0, pi/2] ] quando

sin 2x = 1

2x = pi/2

x = pi/4

e allora b* = h* = rad(2)/2 * d

Ok. Però non mi metto a derivare una radice, anche qui userò un accorgimento. 

Se x é la base, per il teorema di Pitagora 

h = sqrt (d^2 - x^2) 

S = x sqrt (d^2 - x^2) 

il massimo va cercato per 0 < x < d 

e lo cerco su S^2 = x^2 (d^2 - x^2) = d^2 x^2 - x^4 

la derivata é 2 d^2 x - 4 x^3 

Segno 2x (d^2 - 2 x^2) >= 0 

essendo x > 0 

2x^2 - d^2 <= 0 

0 < x^2 < d^2/2 é l'intervallo di crescenza 

e x* = rad(2) x/2 é il punto di massimo richiesto 

ovviamente l'altezza avrà lo stesso valore. 

Puoi verificare che é assoluto constatando che S(0) = S(d) = 0