Esercizio derivabilita

y = ABS(x^2 - x) + 3

equivale a scrivere una funzione continua a tratti:

y=

{x^2 - x + 3    per x ≤ 0 ∨ x ≥ 1

{- x^2 + x + 3    per 0 < x < 1

La sua derivata y' risulta invece discontinua in x=0 ed in x =1 ove la funzione presenta due cuspidi.

La funzione ha un massimo relativo in

y' =0----> 1 - 2·x = 0----> x = 1/2

y max=- (1/2)^2 + 1/2 + 3 = 13/4

In corrispondenza dei punti di cuspide si hanno due minimi assoluti:

y min=3

y''=-2 per ogni valore di x nel tratto di competenza che conferma il massimo relativo.

$ y(x) = |x^2-x| + 3 $

• Dominio = ℝ
  • • La funzione y(x) è positiva in tutto ℝ
    • La funzione y(x) è continua laddove definita
    • $ \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = +\infty $     questo significa che esistono punti di minimo globali (Weirestrass generalizzato). E' del tutto intuitivo.

Per rispondere alla domanda dov'è derivabile, riscriviamo la funzione nella forma a tratti

$ y (x) = \begin{cases} x^2-x+3 \quad \text{  per  x < 0  oppure per   x > 1} \\ -x^2 + x + 3 \quad \text{  per x  t.c.  0 < x < 1} \\  3  \qquad \qquad \text{  per  x = 0  oppure per   x = 1} \end{cases} $

Calcoliamone la derivata 

$ y' (x) = \begin{cases} 2x-1 \quad \text{      per  x<0  oppure per   x> 1} \\ -2x + 1 \quad \text{  per x  t.c.  0 < x < 1 } \end{cases} $

nota: Se conosci la formula della derivata del modulo eviti gli ultimi passaggi.

• Punti stazionari. Poniamo la derivata eguale a zero e così dimostriamo che la funzione ammette un solo punto stazionario. $ x = \frac{1}{2}$
• Nei punti x = 0 e x = 1 la derivata non esiste visto che le due derivate laterali sono diverse. 
  • $D^-(y(0) ) = -1$
  • $D^+(y(0) ) = 1$
  •  Si tratta di una cuspide
  • analogamente si procede per x = 1.

Ci chiediamo la natura del punto stazionario. Studiamo il segno della derivata

______0_______1/2________1_______
--------X++++++0-------------X++++++  y'(x)

..↘...X....↗....=.....↘....X....↗.......     y(x)

A destra del punto stazionario è crescente a sinistra è decrescente per cui il punto x = 1/2 è un punto di massimo locale.

Per quanto detto in precedenza esistono i punti di minimo globale, verifichiamo il valore della funzione laddove non è derivabile.

1. Per x = 0 si ha y(0) = 3
2. Per x = 1 si ha y(1) = 3

questi due sono punti di minimo globali. 

La funzione è somma di un termine costante +3 e di un termine positivo; il minimo verrà raggiunto quando il modulo è nullo, quindi concludo che il valore minimo globale vale 3.

Qui possiamo ricordare che x^2 - x >= 0 =>  x <= 0 V x >= 1

per cui f(x) = x^2 - x + 3 per x <= 0 V x >= 1 e f(x) = - x^2 + x + 3   se 0 < x < 1.

Allora f'(x) = 2x - 1 per x <= 0 e x >= 1 e - 2x + 1 per 0 < x < 1

Pertanto l'unico punto stazionario é x = 1/2

e -2x + 1 >= 0   =>  x <= 1/2 

Si tratta quindi di un punto di massimo. 

Vanno poi valutati anche x = 0 e x = 1 perché ivi la derivata non esiste

ed é intuitivo riscontrare che ivi si riscontra un minimo assoluto di valore 3