[Risolto] Es 75

@francesca1234280

Ciao di nuovo

x^2 + y^2/4 = 1

quindi:

a^2 = 1 e b^2 = 4----> fuochi su asse y

In base al testo il triangolo equilatero deve avere la base sulla retta y=2 tangente all'ellisse data nel suo vertice (0,2)

Il vertice di tale triangolo equilatero deve quindi essere: [0, q]

Consideriamo quindi 2 fasci di rette impropri aventi coefficienti angolari:

m = TAN(60°) = √3 ed m = TAN(- 60°) = - √3

quindi rette generiche del tipo:

y = √3·x + q e y = - √3·x + q

quindi, mettiamo prima retta  a sistema con l'ellisse data:

{x^2 + y^2/4 = 1

{y = √3·x + q

che risolviamo per sostituzione:

x^2 + (√3·x + q)^2/4 = 1

x^2 + (√3·x + q)^2/4 - 1 = 0-----> (7·x^2 + 2·√3·q·x + q^2 - 4)/4 = 0

7·x^2 + 2·√3·q·x + q^2 - 4 = 0

Poniamo la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0----> (√3·q)^2 - 7·(q^2 - 4) = 0----> 28 - 4·q^2 = 0

Quindi: q = - √7 ∨ q = √7

La seconda soluzione la scartiamo per il testo dato.

Mettiamo qui di a sistema:

{y = √3·x - √7

{y = 2

che risolviamo ottenendo: x = √3·(√7 + 2)/3 ∧ y = 2

Analogamente:

{y = - √3·x - √7

{y = 2

si ottiene: x = - √3·(√7 + 2)/3 ∧ y = 2

Il triangolo quindi ha base b ed altezza h definite da:

b = 2·√3·(√7 + 2)/3

h = 2 + √7

quindi area:

Α = 1/2·b·h

Α = 1/2·2·√3·(√7 + 2)/3·(2 + √7)

In definitiva si ottiene: Α = (4·√21 + 11·√3)/3

L'altezza del triangolo equilatero è uguale alla metà della lunghezza della base del triangolo per radice (3), essendo il cateto opposto all'angolo di 60 gradi.

Determino la retta tangente alla conica di coefficiente angolare radice (3) e che interseca l'asse y in un punto di ordinata negativa (vertice triangolo equilatero) 

{y=radice (3)*x + k

{4x²+y²=4

Da cui si ricava, imponendo la condizione di tangenza (D/4=0) i valori del parametro: k= ± radice (7)

Quindi la retta cercata è:

y=radice (3)*x - radice (7)

L'altezza del triangolo equilatero è quindi:

H= 2+radice (7)

Da cui si ricava la lunghezza del lato e la superficie del poligono 

A= (L²/4)*radice (3)

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

A= [11*radice (3) + 4*radice (21)] /3

L'area S del triangolo equilatero di lato L è: S = (√3/4)*L^2.
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Il triangolo equilatero con un vertice A(0, - u^2) sul semiasse y < 0, se dev'essere circoscritto all'ellisse
* Γ ≡ x^2 + y^2/4 = 1 ≡ (x/1)^2 + (y/2)^2 = 1
allora deve avere gli altri due vertici sulla retta y = 2 (tangente Γ nel vertice (0, 2) dell'ellisse) equidistanti dall'asse y: C(- k, 2), B(k, 2), con k = L/2.
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Per l'equilateralità dev'essere
* |AB| = |BC| ≡ √(u^4 + 4*u^2 + k^2 + 4) = 2*k > 0 ≡
≡ k = (u^2 + 2)/√3
da cui
* A(0, - u^2), B((u^2 + 2)/√3, 2), C(- (u^2 + 2)/√3, 2)
* S = (√3/4)*L^2 = (√3/4)*(2*(u^2 + 2)/√3)^2 = (u^2 + 2)^2/√3
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La congiungente
* AB ≡ y = (√3)*x - u^2
posta a sistema con Γ ha risolvente
* x^2 + ((√3)*x - u^2)^2/4 - 1 = 0 ≡
≡ 7*x^2 - 2*((√3)*u^2)*x + u^4 - 4 = 0
che, per la tangenza, deve avere discriminante nullo
* Δ(u) = - 16*(u^4 - 7) = 0 ≡ u^2 = √7
da cui
* A(0, - √7), B((√7 + 2)/√3, 2), C(- (√7 + 2)/√3, 2)
* S = (u^2 + 2)^2/√3 = (√7 + 2)^2/√3 = (11 + 4*√7)/√3
che è proprio il risultato atteso.