Immagina di assegnare ad ognuno dei pennarelli il numero del cassetto in cui sarà messo, generando una sequenza di 5 cifre.
Ad esempio la sequenza 12251 indica che il pennarello giallo va nel 1 cassetto, quello verde e rosso nel 2 cassetto, il blu nel 5° e il viola di nuovo nel 1°.
Risolviamo le richieste tenendo presente questo procedimento:
a)
Ognuno dei pennarelli può andare in ognuno dei 4 cassetti, dunque dobbiamo generare una sequenza di 5 cifre con i numeri da 1-4 ammettendo ripetizioni: sono disposizioni con ripetizione
$D'_{4,5} = 4^5 = 1024$
b)
Il quarto cassetto deve rimanere vuoto, quindi possiamo usare le cifre 1-2-3: sono ancora disposizioni con ripetizione, ma stavolta di sole 3 cifre:
$D'_{3,5} = 3^5 = 243$
c)
Terzo e quarto cassetto vuoti, quindi possiamo usare le cifre 1-2 con ripetizione:
$D'_{2,5} = 2^5 = 32$
d)
Terzo o quarto cassetto non devono essere vuoti, quindi può essere vuoto il terzo oppure il quarto, ma non possono essere vuoti entrambi.
Quando abbiamo una negazione, conviene ragionare al contrario: in quanti modi possiamo disporre i pennarelli lasciando 3 e 4 cassetto vuoto? Come abbiamo visto nella c) sono 32.
Dato che complessivamente le disposizioni sono quelle del punto a), cioé 1024, dobbiamo togliere da queste i 32 che non ci vanno bene. Quindi sono 1024-32 = 992.
e)
Il terzo e il quarto non devono essere vuoti, quindi devono essere entrambi pieni. Questo vuol dire che dobbiamo scartare tutte le disposizioni che non contengono né il 3 né il 4 (che sono 32 dal punto c) ma anche tutte quelle che contengono il 3 ma non il 4 e viceversa.
Quante sono le disposizioni che contengono almeno un 3, ma non il 4? Ragioniamo di nuovo con l'evento contrario. Le disposizioni delle cifre 1-2-3 sono in tutto:
$D_{3,5}= 3^5 = 243$
le disposizioni che invece non contengono il 3 ma solo 1 e 2 sono:
$D_{2,5} = 2^5 = 32$
Quindi quelle che contengono almeno un 3 sono 243-32 = 211.
Chiaramente le disposizioni che contengono almeno un 4 ma non il 3 sono sempre 211, basta rifare lo stesso ragionamento.
Quindi dal punto d) già sappiamo che 992 sono le disposizioni in cui almeno uno tra 3 e 4 cassetto è vuoto.
Da queste togliamo quelle in cui solo il 3 è pieno o solo il 4 è pieno che sono 211 per ognuno:
$992 - 211 - 211 = 570$
f)
Nessun cassetto deve restare vuoto. Quindi nella sequenza avremo le cifre 1-2-3-4 più una quinta che si ripete tra quelle già viste. Supponiamo ad esempio che due pennarelli vadano nel primo cassetto: avremo la sequenza 1-2-3-4-1. Per contare quante sono facciamo le permutazioni di 5 cifre, con due che si ripetono:
$ P_5^{2} = \frac{5!}{2!} = 60$
Ma questo ragionamento si può fare con ognuna delle cifre che si ripetono, quindi ne avremo $60*4= 240$.
Noemi
