Traccia il grafico della parabola di equazione $y=x^2-2 x+1$. Indica con $A$ e $B\left(x_A<x_B\right)$ i punti in cui la retta di equazione $y=x+1$ interseca la parabola e determina il punto $P$ dell'arco $\overparen{A B}$ di parabola in corrispondenza del quale è massima l'area del triangolo $A P B$.
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\left[A(0,1), B(3,4) ; P\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)\right]
$$
potreste svolgerlo, vi ringrazio.
92
punti
Livello 1
Le intersezioni della retta con la parabola forniscono le coordinate dei punti A=(0;1) B(3;4)
Vogliamo massimizzare la superficie del triangolo APB. Il punto P appartiene alla parabola ed ha coordinate
P=(k; k² - 2k + 1)
Dal momento che la base AB è fissata, l'area massima si determina cercando il punto P che rende massima l'altezza relativa. Dalla formula della distanza punto - retta si ricava:
d(P;r) = |yP - (k+1)|/radice (2)
Essendo la retta sopra la parabola nell'intervallo considerato, la precedente relazione equivale a:
d(P;r) = (k+1) - yP = (k+1)-(k²-2k+1) = - k²+3k
La distanza calcolata è l'equazione di una parabola con concavita rivolta verso il basso e presenta il massimo assoluto nel vertice di ascissa xV= (3/2)
Quindi l'area massima si ha per P=(3/2; 9/4 - 3 + 1 = 1/4)
77016
punti
Genius II
