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Se la parabola $y=ax^2+bx+c$ passa per $(0,0)$ chiaramente $c=0$ (puoi verificarlo per sostituzione), ora cerchiamo di determinare $(a,b)$ ponendo il passaggio per $A(-2,0)$ e $C(1,3)$:

$\begin{cases} a(-2)^2+b(-2)=0 \\ a(1)^2+b(1)=3 \end{cases}$

$\begin{cases} b=3-a \\ 4a-6+2a=0 \end{cases}$

$\begin{cases} a =1 \\ b=3-1=2 \end{cases}$

Dunque la parabola ha equazione $y=x^2+2x$.

La circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c=0$ che stiamo cercando ha tangente nell'origine coincidente con l'asse $y$, ciò significa che $c=0$ perché la circonferenza passa per l'origine, e poi che il centro si trova sull'asse $x$, perché la perpendicolare alla tangente in un punto della circonferenza passa sempre per il centro. La perpendicolare a $x=0$ è chiaramente $y=0$, quindi la sua intersezione con $y=x-2$ possiamo trovarla per sostituzione:

$0=x-2 \implies x =2$.

Sappiamo che la circonferenza ha centro $O_C(2,0)$, ricordiamo che $a=-2O_{C_x}$ e $b=-2O_{C_y}$, quindi $a=-2 \cdot 2 =-4$, $y=-2 \cdot 0 =0$. In definitiva l'equazione della circonferenza è $x^2+y^2-4x=0$

Perché la retta $y=t$ intersechi sia la circonferenza che la parabola deve avere ordinata maggiore o uguale a quella del vertice della parabola e minore o uguale al punto della circonferenza che ha il raggio perpendicolare alla retta, quindi:

$V_y=-\frac{\Delta}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-b^2}{4a}=-\frac{4}{4}=-1$.

mentre il punto con il raggio perpendicolare alla retta possiamo trovarlo semplicemente calcolando il raggio come la lunghezza $\overline{OO_C}$ quindi:
$r=|O_{C_x}-0|=|2|=2$ (per via del parallelismo con l'asse $x$ del raggio $\overline{OO_C}$)

ne concludiamo $-1 \leq t \leq 2$.

Se la retta deve anche staccare segmenti congruenti sulla parabola e sulla circonferenza ci basta porre in equazione

$|x_1-x_2|=|x_3-x_4|$ (perché la retta è parallela all'asse $x$ quindi la distanza tra i punti è la differenza delle loro ascisse in valore assoluto)

le ascisse di intersezione con la parabola sono le soluzioni all'equazione $t=x^2+2x$

Tuttavia siamo interessati alla differenza in valore assoluto, che è $\frac{\sqrt{\Delta_1}}{|a_1|}$ (includerò una dimostrazione di questo a fine risposta), quindi troviamo le intersezioni della retta con $x^2+y^2-4x=0$, basta sostituire $y=t$ e otteniamo $x^2-4x+t^2=0$, che è un'equazione di secondo grado in $x$, allora usiamo la stessa formula $\frac{\sqrt{\Delta_2}}{|a_2|}$.

$\frac{\sqrt{\Delta_1}}{|a_1|} = \frac{\sqrt{\Delta_2}}{|a_2|}$

$\sqrt{\Delta_1}=\sqrt{2^2+4t}=\sqrt{4+4t}$

$\sqrt{\Delta_2}=\sqrt{(-4)^2-4t^2}=\sqrt{16-4t^2}$

(porre le condizioni di esistenza è superfluo, lo abbiamo già fatto quando volevamo assicurarci che $t$ intersecasse le curve, infatti otterrai la stessa condizione $-1 \leq t \leq 2$, infatti è quello che facevi quando avevi appena imparato a calcolare le tangenti di una parabola senza derivate, ponevi il $\Delta$ dell'equazione risolvente il sistema uguale a $0$ per avere due punti di intersezione coincidenti, per $\Delta <0$ i punti di intersezione non esistono, abbiamo già escluso questo caso quando abbiamo posto $t \geq V_y$)

essendo $a_1 = a_2=1$ eleviamo direttamente al quadrato:

$4+4t=16-4t^2$
$4t^2+4t-12=0$

$t^2+t-3=0$

$t=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4 \cdot 3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ 

scartiamo la soluzione negativa perché per $t < -1$ la retta non interseca la parabola, quindi ci resta

$t=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$ che rispetta la condizione che avevamo posto, quindi la retta $r$ ha equazione $y=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

Link al grafico qui.

Dimostrazione della formula $|x_1-x_2|$:

$x_1=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = \frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}$
$|x_1-x_2|=|\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}|=|\frac{-b+b-2\sqrt{\Delta}}{2a}|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$