In una semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=2 r$ considera le corde di misure $\overline{A D}=\frac{6}{5} r$ e $\overline{B C}=r \sqrt{2}$. Determing (armisura della corda $C D$.
In una semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=2 r$ e centro $O$, considera le corde di misure $\overline{A D}=\frac{r}{2}$ e $\overline{B C}=r$. De. termina l'area del triangolo COD.
$$
\left[\frac{7 \sqrt{3}+\sqrt{15}}{32} r^2\right]
$$
Potreste svolgerli, grazie
214
punti
Livello 1
Per adesso svolgo il primo (111).
Ricordiamo che se f é l'angolo al centro sotteso da una corda di misura c in una circonferenza
di raggio r, c/2 = r sin f/2 ovvero c = 2r sin f/2.
Tracciata allora la figura e detti alfa, beta e gamma gli angoli al centro sottesi da BC, CD, AD,
deve essere alfa + beta + gamma = pi => alfa/2 + beta/2 + gamma/2 = pi/2
e quindi
6/5 r = 2r sin gamma/2
sin gamma/2 = 3/5
r rad(2) = 2r sin alfa/2
sin alfa/2 = rad(2)/2
alfa/2 = pi/4
pi/4 + beta/2 + gamma/2 = pi/2
beta/2 + gamma/2 = pi/4
beta/2 = pi/4 - gamma/2
CD = 2 r sin beta/2 = 2 r sin (pi/4 - gamma/2) =
= 2 r [ sin pi/4 cos gamma/2 - cos pi/4 sin gamma/2] =
= 2r rad(2)/2 * (4/5 - 3/5) = r/5 rad(2)
essendo rad(1 - (3/5)^2) = 4/5
Procediamo, usando la stessa logica, alla soluzione del n. 112
S[COD] = 1/2 r^2 sin beta
ricordando che 2 r sin f/2 = c
sin a/2 = (r/2)/(2r) = 1/4
sin gamma/2 = r/(2r) = 1/2 => gamma/2 = pi/6
beta/2 = pi/2 - alfa/2 - beta/2 = pi/3 - alfa/2
beta = 2/3 pi - alfa
per le formule di addizione
sin beta = sin (2/3 pi - alfa) =
= sin 2/3 pi cos alfa - cos 2/3 pi sin alfa =
= rad(3)/2 cos a + 1/2 sin alfa
Qui sin alfa = 2 sin alfa/2 cos alfa/2 = 2*1/4 * rad(15)/4 = rad(15)/8
cos alfa = cos^2(alfa/2) - sin^2(alfa/2) = 15/16 - 1/16 = 7/8
Componendo quindi i risultati trovati
S[COD] = r^2/2 * 1/2 ( rad(3)*7/8 + rad(15)/8 ) =
= r^2/(4*8) *(7 rad(3) + rad(15)) = (7 rad(3) + rad(15))/32 r^2
anche qui : rad(1 - (1/4)^2) = rad(1 - 1/16) = rad(15/16) = 1/4 rad(15).
58350
punti
Livello 7
