Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Osservazione.
I coefficienti dell'equazione differenziale lineare e il termine non omogeneo sono funzioni definite in tutto ℝ quindi, le soluzioni avranno come dominio ℝ stesso. Questo significa che il dominio è simmetrico rispetto l'origine e così ha senso parlare di parità e disparità.
Ci chiediamo se esiste una soluzione dispari cioè $ y(-x) = - y(x) \quad \forall x \in ℝ $
Sappiamo che la derivata prima di una funzione dispari è necessariamente pari, di conseguenza deve valere
$ y'(-x) = y'(x) \quad \forall x \in ℝ $
Verifichiamolo
$ y'(- x) = y(-x)e^{-(-x)^2} + sin (-x) $
$ y'(- x) = y(-x)e^{x^2} - sin (x) $
Se y(x) è dispari
$ y'(- x) = - y(x)e^{x^2} - sin (x) = - (y(x)e^{x^2} + sin (x)) = - y'(x) $
La derivata prmia non solo non è pari ma è dispari, conclusione: non esiste una y(x) dispari.
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Livello 6