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Livello 2
Problema:
Si risolva la seguente equazione differenziale:
$\ddot{y}+8y'+16y=0$
Soluzione:
Quando le EDO sono di secondo ordine conviene individuare per prima cosa il polinomio caratteristico e le sue radici:
$\lambda ² +8\lambda+16=0$
$\lambda=-4$
Dato che vi sono due radici reali coincidenti e l'equazione è omogenea la soluzione è $y= c_1e^{-4 x}+c_2xe^{-4x}$.
Non entro nel perché è così dato che bisognerebbe introdurre anche gli spazi vettoriali, però puoi verificare la veridicità di ciò sostituendo le soluzioni in una generica equazione differenziale del secondo ordine opportunamente costruita.
∆>0: Se le radici del polinomio caratteristico $P(\lambda)$ sono reali e disgiunte, allora si ha $y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$
∆=0: Se le radici sono reali e coincidenti, allora si ha $y=c_1e^{\lambda x}+c_2xe^{\lambda x}$
∆<0: Se le radici sono complesse ($\lambda_{1,2}=a \pm ib$), allora si ha $y=e^{ax} (c_1\cos bx +c_2 \sin bx)$. Questa relazione viene dalla formula di Eulero $e^{ix}=\cos x + i \sin x$ con una riduzione al campo dei reali.
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Livello 6