rispondere vero o falso giustificando la risposta.
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Livello 6
3A) Ammette sempre infinite soluzioni.
L'equazione è lineare non omogenea. La soluzione generale è data dalla somma di una soluzione particolare dell'equazione non omogenea e della soluzione generale dell'omogenea associata. L'omogenea associata è un'equazione lineare del secondo ordine, che ha uno spazio vettoriale di soluzioni di dimensione 2. Quindi, se esistono soluzioni, ce ne sono infinite (a meno che non ci siano condizioni iniziali che fissano una soluzione unica). Tuttavia, l'esistenza è garantita per il teorema di esistenza e unicità per equazioni lineari (dato che i coefficienti sono continui). Quindi, per ogni scelta di condizioni iniziali, esiste una soluzione unica, ma senza condizioni iniziali ci sono infinite soluzioni. Vero.
3B) Può ammettere soluzioni non limitate in un intervallo limitato.
Consideriamo un esempio: u′′(t)=0 (che rientra nella forma con a(t)=0,b(t)=0,f(t)=0. Le soluzioni sono u(t)=c(1)t+c2, che sono limitate in un intervallo limitato (ad esempio, in [0,1] sono limitate). Ma possiamo avere casi patologici? In generale, per equazioni lineari con coefficienti continui, le soluzioni sono definite su tutto R e sono regolari. Tuttavia, se i coefficienti non sono limitati, la soluzione potrebbe crescere molto rapidamente. Ad esempio, consideriamo u′′(t)−u(t)=0 (qui a(t)=0,b(t)=−1,f(t)=0), le soluzioni sono e^ t e e^−t. In un intervallo limitato, e^t è limitata (perché continua su un compatto). In effetti, per qualsiasi equazione lineare con coefficienti continui, la soluzione è continua su qualsiasi intervallo chiuso e limitato, quindi è limitata su quell'intervallo. Non è possibile avere una soluzione non limitata in un intervallo limitato perché la soluzione è di classe C^2(quindi continua) su tutto R. Falso.
3C) Può ammettere soluzioni limitate.
Sì, ad esempio l'equazione u′′(t)+u(t)=0 (con a(t)=0,b(t)=1,f(t)=0) ha soluzioni sin(t) e cos(t), che sono limitate. Anche l'equazione omogenea con coefficienti costanti può avere soluzioni limitate a seconda dei coefficienti. In generale, esistono molte soluzioni limitate. Vero.
3D) La somma di soluzioni è ancora soluzione.
Questo vale per equazioni omogenee, ma non per quelle non omogenee. Se u(1) e u(2) sono soluzioni dell'equazione non omogenea, allora:
[u(1)+u(2)]′′+a(t)[u(1)+u(2)]′+b(t)[u(1)+u(2)]=[u(1)′′+au(1)′+bu(1)]+[u(2)′′+au(2)′+bu(2)]=f(t)+f(t)=2f(t)
Quindi la somma non è una soluzione a meno che f(t)=0. In generale, per equazioni non omogenee, la somma di due soluzioni non è una soluzione. Falso.
Spero di non aver fatto errori madornali.
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Livello 8
@gregorius anche a me tornava così, a meno che non ci siamo sbagliati in due dovrebbe essere giusto 🙂
@RebC . Mi erano sorti dei dubbi in merito alle prime due risposte, che potrebbero essere diverse. Infatti nel primo caso se fossero state presenti delle condizioni iniziali (problema di Cauchy) l’esistenza e l’unicità del teorema di Cauchy–Lipschitz garantiscono una unica soluzione. Ma non essendo presenti alcuna condizione iniziale o al contorno, l’equazione differenziale lineare del secondo ordine ha la soluzione generale che contiene due costanti arbitrarie . Queste due costanti possono assumere qualsiasi valore in R, perciò:otteniamo infinitamente molte soluzioni diverse.
Nella seconda risposta mi era sorto il dubbio che e^t potesse divergere, ma ciò non è possibile in un insieme chiuso e limitato. Perciò non ho cambiato le risposte che avevo dato di primo acchito.