Equazioni di Bernoulli.

$ y' = -y+2xy^2 $

ODE non lineare del 1° ordine detta di Bernoulli.

1. Vale la soluzione banale y(x) = 0

Determiniamo le altre dividendo per y² i membri

$ \frac{y'}{y^2} = -\frac{1}{y} +2x $ 

Poniamo $ z = \frac{1}{y} \; ⇒ \; z' = - \frac {y'}{y^2} $ 

sostituendo le variabili si ottiene

$ - z' + z =  2x $    (1)

questa è una ODE lineare non omogenea del 1° ordine a coefficienti costanti. Cerchiamo la soluzione generale dell'omogenea associata e una soluzione particolare della non omogenea, per poi sommarle tra di loro.

• Omogenea associata. $ z' = + z $ La cui soluzione è $z = ce^x $
• Soluzione particolare $ \bar{z'} $

La cerchiamo tra le funzioni avente la forma

$ \bar{z}(x) = ax+b $      derivando

$ \bar{z}'(x) = a $           sostituendo nella (1)

$-a + ax +b = 2x $         Applicando il principio di identità dei polinomi si ricava

$ a = 2   \quad ∧ \quad b = 2 $

La soluzione particolare è così

$ \bar{z}(x) = 2x+2 $

La soluzione generale dell'equazione in z è  $z(x) = ce^x + 2(x+1)$

Ritorniamo alla variabile in y. Si hanno come soluzioni

1. $y(x) = 0$
2. $y(x) = \frac{1}{ce^x + 2(x+1)}$