Eqauzioni di Bernoulli.

$ y' = y-(x^2+1)y^2 $

ODE non lineare del 1° ordine detta di Bernoulli.

1. Vale la soluzione banale y(x) = 0

Dividiamole per y^2

$ \frac{y'}{y^2} = \frac{1}{y} - (x^2+1) $ 

Poniamo $ z = \frac{1}{y} \; ⇒ \; z' = - \frac {y'}{y^2} $ 

sostituendo le variabili si ottiene

$ z' + z = (x^2+1) $    (1)

questa è una ODE lineare non omogenea del 1° ordine a coefficienti costanti. Cerchiamo la soluzione generale dell'omogenea associata e una soluzione particolare della non omogenea, per poi sommarle tra di loro.

• Omogenea associata. $ z' = - z $ La cui soluzione è $z = ce^{-x} $
• Soluzione particolare $ \bar{z'} $

La cerchiamo tra le funzioni avente la forma

$ z(x) = ax^2+bx+c $      derivando

$ z'(x) = 2ax+bx $           sostituendo nella (1)

$2ax+b+ax^2+bx+c = x^2+1 $         Applicando il principio di identità dei polinomi si ricava

$ a = 1   \quad ∧ \quad b = -2 \quad ∧ \quad c = 3 $

La soluzione particolare è così

$ \bar{z}(x) = x^2-2x+3$

La soluzione generale dell'equazione in z è  $z(x) = ce^{-x} + x^2-2x+3$

Ritorniamo alla variabile in y. Si hanno come soluzioni

1. $y(x) = 0$
2. $y(x) = \frac{1}{ce^{-x} + x^2-2x+3}$