Energia e velocità

1/2 m v^2 + m g h = 1/2 m vo^2; si conserva l'energia. 

1/2 v^2 = 1/2 vo^2 - g h;

v = radice quadrata(vo^2 - 2 g h);

v = radice(10^2 - 2 × 9,8 × 3) = radice(100 - 58,8);

v = 6,42 m/ s.

v minima per superare 3 m:

m g h = 1/2 m v^2 ;

v^2 = 2 g h;

v = radice(2 × 9,8 × 3) = radice(58,8);

v = 7,67 m/s.

Ciao  @brilli

Εci = 1/2·m·v^2 (energia meccanica iniziale)

la pallina ha inizialmente sola energia cinetica

L'energia meccanica si conserva in assenza di attriti. Ad un'altezza h l'energia meccanica sarà data da:

Εc + U = 1/2·m·η^2 + m·g·h

Quindi per quanto detto si deve avere:

1/2·m·v^2 = 1/2·m·η^2 + m·g·h

essendo η la velocità della pallina alla quota h= 3 m

Quindi risolvo rispetto ad η:

η = √(v^2 - 2·g·h)

con g = 9.806 m/s^2; v= 10 m/s si ottiene:

η = √(10^2 - 2·9.806·3)----> η = 6.416 m/s

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Per ottenere invece la velocità minima iniziale v occorrerà porre l'energia cinetica finale nulla:

1/2·m·v^2 = m·g·h----> v = √(2·g·h)

Quindi: v = √(2·9.806·3)----> v = 7.67 m/s

Se anche nel dislivello non c'è attrito, possiamo usare il principio di conservazione dell'energia meccanica, ossia:

$E_i=E_f$

allora avremmo che:

$\frac{1}{2} m V_f^2+ mgh = \frac{1}{2} mV_i^2$

Perché alla fine la pallina ha anche energia potenziale in virtù della sua altitudine rispetto al piano, moltiplichiamo tutto per $\frac{2}{m}$ e otteniamo:

$V_f^2+2gh=V_i^2$

$V_f^2=V_i^2-2gh$
$V_f=\sqrt{V_i^2-2gh}= \sqrt{(10m/s)^2-2 \cdot 9.8m/s^2 \cdot 3m}=\sqrt{100m^2/s^2-58.8m^2/s^2}=\sqrt{41.2m^2/s^2} \approx 6.42m/s$

La velocità minima per superare il dislivello è quella per cui non vi è un surplus di energia meccanica quando si è giunti all'altezza imposta (perché l'energia meccanica si convertirebbe in energia cinetica), allora deve esservi solo energia potenziale, quindi:

$\frac{1}{2}mV_m^2=mgh$

$V_m^2=2gh$

$V_m=\sqrt{2gh}=\sqrt{2 \cdot 9.8m/s^2 \cdot 3m} = \sqrt{58.8m^2/s^2} = \approx 7.67m/s$.

Una pallina di massa m = 2 kg si muove su un piano senza attrito con velocità Vo = 10 m/s e deve affrontare un dislivello h di 3 m.

Quale  sarà la velocità V della pallina dopo aver superato il dislivello?

m/2*Vo^2-m*g*h = m/2*V^2

la massa m "smamma" , pertanto :

V = √Vo^2-2gh = √10^2-19,613*3 = 6,42 m/s 

E quale è la velocità minima Vmin per superare il dislivello?

V min = √2gh = √19,613*3 = 7,67 m/s