[Risolto] Elisse

Ciao!

Individuiamo i punti di intersezione tra ellisse e retta mettendo a sistema le due equazioni:

$\begin{cases} \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{8}=35 \\  x-2y+7=0 \end{cases} $

$\begin{cases} \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{8}=35 \\  x= 2y-7 \end{cases} $

$\begin{cases} \frac{(2y-7)^2}{3}+\frac{y^2}{8}=35 \\  x= 2y-7 \end{cases} $

$\begin{cases} \frac{8(2y-7)^2 + 3y^2}{24}=\frac{840}{24} \\  x= 2y-7 \end{cases} $

$\begin{cases} 8(2y-7)^2 + 3y^2=840 \\  x= 2y-7 \end{cases} $

$\begin{cases} 32y^2+392-224y +3y^2-840 = 0 \\  x= 2y-7 \end{cases} $

$\begin{cases} 35y^2-224y -448 = 0 \\  x= 2y-7 \end{cases} $

$\frac{\Delta}{2} = (112)^2-(35)(-448) =12544+15680=28224 $

$ y_{1,2} = \frac{-112 \pm \sqrt{28224}}{35} =\frac{-112 \pm 168}{35}$

che ci dà $y_1 = \frac{56}{35} = \frac{8}{5}$ e 

$y_2 = -\frac{280}{35} = -8 $

Le $x$ a cui sono associate, invece, sono: $x_1 = 2y_1 -7 = \frac{16}{5} -7= -\frac{19}{5}$

e $x_2 = 2y_2-7 = -16-7= -23$

Quindi i punti sono $A(-\frac{19}{5}; \frac85)$ e $B(-8; -23)$

Calcoliamo ora la distanza tra questi due punti:

$AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_B-y_A)^2} = \sqrt{ (\frac{21}{5})^2+(\frac{123}{5} )^2} = \frac{3}{5} \sqrt{1730} $